De thi thu TS vao lop 10-De so 4

Đề TK tuyển sinh lớp 10-Đề số 4

Bài 1 (3,0điểm
a) Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) - xyz
b) Tìm số tự nhiên
để
và
là hai số chính phương.

Bài 2: (3,0điểm)
a) Chứng minh (m,n,p,q ta đều có m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1)
b) Chứng minh bất đẳng thức:
.

Bài 3 (3,0điểm)
a.Giải phương trình nghiệm nguyên: (y + 2)x2 + 1 = y2
b. Giải phương trình:

Bài 4: (3,0điểm)
a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x -

b) b. Cho a; b; c > 0 và: = 2. Tìm giá trị lớn nhất của abc.

Bài 5: (5,0điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H
BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
.
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
.

Bài 6. (3,0điểm)
Cho tam giác ABC có
(a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

----------Hết----------







ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài

Nội dung
Điểm

1
a
1,5
A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz
= xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ z)
= y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z)
= (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx]
= (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)]= (x+ y) (x+ z) ( y+ z)

0,5

0,5
0,5


b
1,5
Để
và
là hai số chính phương

và


Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:

Từ
suy ra

Thay vào
, ta được
.
Vậy với
thì
và
là hai số chính phương

0,5


0,5


0,5


a
1,5
Ta có: m
+ n
+ p
+ q
+1( m(n+p+q+1)



(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi






0,5


0,5



0,5



b
1,5
Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2

a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2



ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m
Nếu ac + bd
0 (1)
( a2 + b2 )(c2 + d2)
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2d2 + b2c2 – 2abcd
0
(ad – bc)2
0 ( luôn đúng)
Dấu “=” xẩy ra
ad = bc




0,5
0,25


0,5
0,25

3
a
1,5
Ta có: (y + 2)x2 + 1 = y2
(y+2)x2 - (y2-4) = 3
(