De thi thu HSG mon toan lop 7 lan 2 co dap an

Trường THCS Vĩnh Tường Đề khảo sát đội tuyển lớp 7
Môn: Toán
Thời gian 120 phút

Câu 1: Cho A = với n N; n 1.
Chứng minh rằng:
Câu 2:
a/ Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 6x2 + 5y2 = 74
b/ Tìm x biết
c/ Tìm số dư khi chia 22009 cho 31
Câu 3:
a/ Cho A = 2n - 1 và B = 2n + 1. Chứng minh rằng A và B không cùng là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n lớn hơn 2.
b/ Viết tiếp một số nguyên dương vào sau số 1993 ta được một số chia hết cho 101. Tìm số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên.
c/ Tìm tất cả các số tự nhiên n để 3n + 6 là số chính phương.
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt Ab và Ac lần lượt ở M và N.
a/ Chứng minh rằng: DM = EN
b/ Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: Ba điểm M, I, N thẳng hàng.
c/ Chứng minh rằng: Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạch BC
Câu 5:
a/ Chứng minh rằng khi và chỉ khi
b/ Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm cùng màu cách nhau đúng một đơn vị.