De thi thu HSG cap huyen co dap an

Trường THCS Tào Sơn
THI CHỌN ĐỘI SƠ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Anh Sơn
Năm học 2011 - 2012


Nghệ An
Môn: Toán - Thời gian làm bài 150 phút


Câu 1: (2 điểm)
a) Tính:

b) Cho biết
. Hãy tính giá trị của biểu thức

Câu 2: (1,5 điểm): Cho biết a
= 22n+1 + 2n+1 + 1
b
= 22n+1 - 2n+1 + 1 với n ( N
Chứng minh rằng: trong hai số a
và b
có một và chỉ một số chia hết cho 5
Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị bé nhất của biểu thức:
P =
+
.
Áp dụng hãy giải phương trình:
+
= -5 – x2 + 6x
Câu 4: (3,5 điểm). Cho hình bình hành ABCD có AC > BD; kẻ CH vuông góc với AD ( H ( AD); kẻ CK vuông góc với AB ( K ( AB). Chứng minh rằng:
Hai tam giác KBC và HDC đồng dạng
Hai tam giác CKH và BCA đồng dạng
AB. AK + AD. AH = AC2
HK = AC.sinBAD
Câu 5: (1 điểm). Cho a, b là các số dương thỏa mãn a3 + b3 = a5 + b5
Chứng minh rằng: a2 + b2 ( 1 + ab.

----- Hết -----
Đáp án
Câu 1: (2 điểm)
a)
=  + 1
b) Ta có: A =  =  .  .
Từ giả thiết ( 3x = -2x - 2x - 2 ( 2x - 2x + 2 = - 7x (  =  .
( A =  .  =  .
Câu 2:
Ta có an ; bn là các số lẻ.
an . bn = (22n+1 + 1) - 22(n+1) = 24n+2 + 1 = 42n+1 + 1 = 4.16n + 1.
Với n ( N thì 16n có tận cùng là 1; 6; 16; 36 ( 4.16n có tận cùng là 4; 44; 64 ( 4.16n + 1 có tận cùng là 5; 45; 65
an . bn có tận cùng là 5 ( an . bn chia hết cho 5.
an hoặc bn chia hết cho 5 (1)
Mặt khác, an - bn = 2n+2 không chia hết cho 5 suy ra an và bn không đồng thời chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) suy ra trong hai số a
và b
có một và chỉ một số chia hết cho 5.
Câu 3:
Ta có:
P =  +  =  + 
( 1 + 3 = 4
Dấu " = " xảy ra ( x = 3
Vậy P nhỏ nhất bằng 4 khi x = 3.
-5 - x + 6x = 4 - (x - 3) ( 4. Dấu " = " xảy ra ( x = 3
( -5 - x + 6x đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = 3
( Phương trình
+
= -5 - x + 6x có nghiệm khi và chỉ khi
+
= 4 và -5 - x + 6x = 4( x = 3
( Phương trình
+
= -5 - x + 6x có nghiemj duy nhất là x = 3.
Câu 4:
a) ∆KBC ∽ ∆HDC (g.g)
b) ∆CKH ∽ ∆BCA (c.g.c)
c) Lấy điểm M, N như hình vẽ. Ta có:
∆ABM ∽ ∆ACK (g.g)
và ∆AND ∽ ∆ACH (g.g)
( AB.AK = AM.AC và AD.AH = AN.AC
( AB.AK + AD.AH = AC(AN + AM)
Mặt khác, ∆CBM = ∆AND ( AN = AM
( AB.AK + AD.AH = AC(AM + CM) = AC



d) Từ ∆CKH ∽ ∆BCA (  = 
( KH = AC.  = AC.Cos KCB = AC.SinKBC. Mà  = (Đồng vị)
( KH = AC.SinBAD.
Câu 5:
Ta có: a2 + b2 ( 1 + ab ( (a + b)(a + b) ( (a + b)(1 + ab)
( a + b + ab + ab ( a + b + ab + ab
( ab + ab ( a