đề thi olympic 2016

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
(Thời gian làm bài 120 phút)

Năm học 2011-2012




Câu 1: (4 điểm)
Giải phương trình:
.
Câu 2: (2 điểm)
Giải sử (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình:


Gọi A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2). Tìm m để độ dài đoạn AB lớn nhất.
Câu 3: (5 điểm)
1. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
Câu 4: (7 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):
và đường thẳng (d):
. Tìm tọa độ điểm A trên (d) sao cho qua A kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt B và E sao cho góc
.
2. Cho tam giác (ABC thỏa mãn điều kiện: cotA + cotC = 2cotB. Gọi G là trọng tâm tam giác (ABC. Chứng minh rằng:
.
Câu 5: (2 điểm)
Cho x và y là hai góc nhọn thỏa mãn :
.
Chứng minh rằng:
.
----------- Hết ------------

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI
ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10

TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC
(Đáp án vắn tắt và biểu điểm)

Năm học 2011-2012






Chú ý: Học sinh làm đúng cách giải khác vẫn cho đủ điểm.

Thang điểm

Câu 1: (4 đ)
Giải phương trình:
.



Điều kiện: x ≤ 2 ; Đặt
( y ≥ 0 ) suy ra

1.0


Ta được phương trình:

1.0




1.0


- Giải phương trình được 2 nghiệm.
1.0

Câu 2: (2 đ)
Giải sử (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình: …



- Chỉ ra được đường thẳng: mx + (2m-1)y = 3 có điểm cố định là M(6;-3)
1.0


- Chỉ ra được: x2 + y2 – 4x - 2y - 4 = 0 là đường tròn tâm I(2;1), bán kính R=3.
0.5


- Yêu cầu bài toán ta có A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) đi qua tâm của đường tròn



… Giải được hệ phương trình tìm được m =1.
0.5

Câu 3:
(5 đ)


1.
- Áp dụng BĐT Cô si 3 số:


1.0

(4 đ)
- Tương tự:
;

1.0


- Suy ra
(Cô si)
1.0


- Suy ra được GTNN của
khi x = y = z = 1.
1.0

2.
Tìm GTLN của



(1 đ)
- Xét a1, a2, a3, b1, b2, b3 ≥ 0 theo BĐT Cô si ta có:
0.25



(1)
0.25



(2)



- Cộng (1) và (2) suy ra được:
(3)
0.25


- Chọn:
thay vào (3) ta suy ra được Q ≤ 1.
0.25


- Kết luận được GTLN của Q bằng 1 khi x = 0.


Câu 4:
(7 đ)


1.
Trong mp Oxy cho đường tròn (C):
và đ thẳng (d):
.


( 4 đ)
- Chỉ ra được đường tròn (C) có tâm I(-1 ;2), bán kính R=
.
1.0


- Từ giả thiết suy ra được tam giác ABE đều (có hình vẽ)



…Tam giác vuông EAI có góc A bằng 300 (do AI là đường phân giác của góc EAB)
0.5


- Suy ra IA = 2IE = 2
.
0.5


- Điểm I cố định suy ra A thuộc đường tròng tâm I, bán kính 2
.
1.0


- Suy ra điểm A có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

0.5


- Giải hệ được hai nghiệm (3;4) và