Đề thi HSGHN 2008-2009

Câu I ( 4 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta đều có ( a3+ 5a ) là số nguyên chia hết cho 6.
Cho Tìm số dư trong phép chia A cho 7.
Câu II. ( 4 điểm).
Chứng minh với x > 0 và y > 0 .Xảy ra dấu đẳng thức khi nào?
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P , biết
với a > 0 , b>0 và
Câu III ( 4 điểm)
Cho phương trình ( Với x là ẩn số).
Giải phương trình khi m = 3.
Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1?
Câu IV ( 4 điểm )
Cho đường tròn ( O ; 3 ) và điểm A cố định ( A khác O ) . Chứng minh
Nếu HK là đường kính của đường tròn (O;3) thì AH 3 hoặc AK 3.
Tồn tại hình thang cân MNPQ nội tiếp đường tròn (O;3) thoả mãn đồng thời hai điều kiện MA +NA+PA+QA > 12 và MN+NP+PQ+QM < 12.
Câu V ( 4 điểm )
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và điểm c là điểm chính giữa của cung AB. Lờy điểm M tuỳ ý trên cung BC ( M khác B ). Gọi N là giao điểm của hai tia OC và BM ; H , I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AO,AM ; K là giao điểm các đường thẳng BM và HI.
Chứng minh các điểm A, H, K và N cùng nằm trên một đường tròn.
Xác định vị trí của điểm M trên cung BC ( M khác B) sao cho AK =
-------------------Hết -------------------