De thi HSG Yen Lac Toan 9 (co DA)

Trường THCS YÊN LạC
Kỳ thi khảo sát đội tuyển lớp 9
Năm học 2006-2007
Đề bài khảo sát môn toán
ngày 28 tháng 09 năm 2006
thời gian làm bài 90 phút



Đề bài


Câu 1: 3 điểm
Chứng minh rằng: số là số nguyên với bất kỳ số tự nhiên n.
Giải phương trình trong tập số nguyên:

Câu 2: 5 điểm
a. Giải phương trình:
b. Giải hệ phương trình:
c. Chứng minh rằng: Nếu thì

Câu 3: 2 điểm
Các tam giác ABC và A1B1C1 là các tam giác vuông cân (cạnh AB và A1B1 là các cạnh huyền). Giả sử C1 nằm trên BC, B1 nằm trên AB, còn A1 nằm trên AC. 
Chứng minh rằng, AA1=2CC1.




















Trường THCS YÊN LạC
Kỳ thi khảo sát đội tuyển lớp 9
Năm học 2006-2007
Đáp án khảo sát môn toán
ngày 28 tháng 09 năm 2006
thời gian làm bài 90 phút


Câu
Nội dung trình bày
Điểm

Câu 1a.
Chứng minh:
chia hết cho 15, hay là:
chia hết cho 3 và
chia hết cho 5.
0.5



Rõ ràng.
=
và
=

0.5


Theo định lý Phecma
và

0.5

Câu 1b


Biến đổi phương trình về dạng:

0.5


Biệt thức của phương trình:
.

0.5


Từ đó y= 0, 1, 2
Phương trình có nghiệm: (0,0), (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (2,2)
0.5

Câu 2a
Nhận xét rằng:


0.5


Phương trình đã cho có dạng:

0.5


Khảo sát 4 trường hợp:
1.
phương trình có nghiệm x=10
2.
,x là nghiệm của phương trình đã cho trong đoạn từ 5 đến 10
3.
, phương trình có nghiệm x=5
4.
phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm 5(x(10

0.5

Câu 2b
Nhân phương trình 1 với x, phương trình 2 với y cộng lại ta được:
2xy-1=3y
0.5


Với y(0 thì
thay vào phương trình 2 ta được:

0.5


Với y(0 thì ta nhận được
y2=1( y1=1, y2=-1; ( x1=2, x2=1
0.5

Câu 2c
Từ đẳng thức:

0.5


Bởi thế
hay
. Nhưng x(1 bởi thế bất đẳng thức đúng.
0.5


Cộng đẳng thức:
và
nhận được

0.5



. Bất đẳng thức đúng bởi x(1
0.5

Câu 3
Lấy D là trung điểm của cạnh A1B1. Khi đó (C1DA1=900 suy ra tứ giác CC1DA1 nội tiếp được đường tròn.
0.5


Suy ra (DA1C1=(DCC1=450 suy ra (DC1C=(DA1A.
0.5


Suy ra tam giác DC1C và B1A1A đồng dạng theo trường hợp 2. Hệ số đồng dạng

0.5


Vẽ hình chính xác
0.5


Có thể học sinh