Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm 2010 - 2011

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————————



Câu 1. Giải phương trình:

Câu 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên
thoả mãn phương trình


Câu 3. Cho tam giác
nhọn với trực tâm
Đường thẳng vuông góc với
tại
cắt đường thẳng
ở
đường thẳng vuông góc với
tại
cắt đường thẳng
tại
Gọi
theo thứ tự là trung điểm của

1. Chứng minh rằng
thẳng hàng.
2. Đường thẳng
cắt trung tuyến
của tam giác
tại

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với


Câu 4. Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Câu 5. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng.
Chứng minh rằng tồn tại hai điểm
được tô bởi cùng một màu mà độ dài


——Hết——
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)


Họ và tên thí sinh .......................................................................... SDB .........................





SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
—————————————

Hướng dẫn chung.
-Mỗi bài toán có thể có một hoặc nhiều cách giải khác nhau, nếu học sinh có lời giải khác với trong hướng dẫn chấm và đúng, thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa của phần đó.
-Bài hình học (câu 3), học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai, giám khảo không cho điểm; học sinh chưa làm ý 1, nhưng sử dụng kết quả của phần đó để làm phần 2, giám khảo không chấm điểm phần 2.
Câu 1 (2,5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm

Điều kiện

0,25

Đặt

Ta có

0,50

Phương trình trở thành :
(do
)
0,50

Với
ta được
.
0,50



0,50

Kết luận x = 3.
0,25

Câu 2 (2,0 điểm):
Đặt
, phương trình đã cho trở thành:
(1).
0,25

Ta có:


0,50

Khi đó chỉ xảy ra 4 trường hợp sau:


Từ đó tìm ra
. (Mỗi trường hợp 0,25 điểm)
1,00

Vậy có 4 cặp số
cần tìm là:

0,25

Câu 3 (3,0 điểm).












Phần 1 (2.0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm

Gọi
là chân các đường cao kẻ từ
của tam giác

Khi đó do tứ giác
nội tiếp, nên
(1)
0,25

 Do cách xác định điểm D nên
(2)
0,50

 Từ (1) và (2) suy ra các tam giác
đồng dạng. Từ đó, do
theo thứ tự là trung tuyến của hai tam giác đó, nên

0,50

Từ đó, do
nên
(3)
0,25

Tương tự cũng có
(4)
0,25

Từ (3) và (4) suy ra
thẳng hàng. Hơn nữa
.
0,25

 Phần 2 (1.0 điểm)
Nội dung trình bày
Điểm

Do
nên tứ giác
nội tiếp, suy ra

(do
) và do đó

0,50

Tương tự cũng có

Từ đó suy ra
hay
nằm trên đường tròn
(Hình vẽ).
0,25

Khi đó
. Suy ra đường tròn
tiếp xúc với

0,25

Câu 4 (1.5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm

Đặt
, khi đó x, y, z >0 và

Suy ra
và
.

0,50

Khi đó

0,25

¸p dụng BĐT Cauchy ta được:
.

0,25

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
,
Khi đó
, suy ra

0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
, đạt được khi

0,25


Câu 5 (1,0 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm

- Giả sử trái lại, với mọi cách tô, không tồn tại
hai điểm cùng màu mà có khoảng cách bằng 1.
Xét hai điểm
thì tồn tại các điểm
sao cho các tam giác
là các tam giác đều có độ dài cạnh bằng 1.
Khi đó, do hai điểm có khoảng cách bằng 1 thì được tô
bởi hai màu khác nhau, nên
phải được tô bởi cùng một màu, chẳng hạn tô P: Đỏ, Q: Vàng thì M, N: phải tô cùng màu Xanh, (Hình vẽ).

0,50

- Từ đó, nếu điểm M được tô màu Xanh, thì mọi điểm nằm trên đường tròn tâm M, bán kính
đều được tô màu Xanh. Nhưng trên đường tròn này luôn có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng bằng 1. Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
0,50

—Hết—