DE THI HSG TPHCM

KÌ THI HỌC SINH GIỎICẤP THÀNH PHỐ (THCS)TP HỒ CHÍ MINH
Năm học 2002 - 2003
* Môn thi : Toán       * Thời gian : 150 phút
Bài 1 : (4 điểm)
Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + 1 = 0.
a) Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0)
b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x12 - x22| = 1.
Bài 2 : (5 điểm)
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây :


Bài 3 : (3 điểm)
a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh :


b) Cho x ≥ 1 , y ≥ 1. Chứng minh :


Bài 4 : (3 điểm)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K.
Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6 : (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’), đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D, đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN.