DE THI HSG TP VINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ VINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9


Đề chính thức
NĂM HỌC: 2016 – 20157
Môn: Toán - Lớp 9

Đề thi gồm có: 01 trang
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Ngày thi: 26 tháng 11 năm 2016


ĐỀ BÀI
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Cho a +b + c = 0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức:
A =

2) Tính giá trị của biểu thức:
P =
tại x =
.
Bài 2 (4,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
( 2x + 5y + 1)(
+ y ) = 105
Bài 3 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20142014 +1) chia hết cho n3 + 2012n.
2) Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y.
Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương.
Bài 4 ( 6,0 điểm)
Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E.
a) Chứng minh
đồng dạng với

b) Chứng minh CM vuông góc với OE.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB.
Bài 5 (2,0 điểm)
Giả sử a, b, c là những số thực thỏa mãn a, b, c ( o và
.
Chứng minh rằng:

(Hết)


Họ và tên thí sinh: ..........................................................Số báo danh: ................. Phòng thi: ............

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ VINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9


NĂM HỌC: 2016 – 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán - Lớp 9
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm







1

(4,0đ)



1)

2,0đ
Từ a + b + c = 0 suy ra a + b = - c.
Bình phương hai vế ta được a2 + b2 + 2ab = c2
nên a2 + b2 - c2 = - 2ab
Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc và c2 + a2 - b2 = - 2ac .
Do đó: A =

Vậy A =



0,75

0,5



0,75








2)
2,0đ
Ta có: x
.
Suy ra x
= x + 1
hay x3 = 3x2 + 3x + 1
Do đó



(vì x =
> 2) .
Vậy P =2 tại x =


0,75



0,5



0,5

0,25








2


(4,0
đ)




1)

2,0đ

 Ta có:
<=>

Đặt a = x –y , b = xy (1)
Hệ phương trình trên trở thành:

Giải hệ phương trình trên ta được:
hoặc

Với a = 3, b = -2 thay vào (1) ta được:

và

Với a = - 6, b = - 11 thay vào(1) ta được:

( Hệ PT vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:


0,25





0,5



0,5



0,5

0,25

Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm










2)

2,0đ
 ( 2x + 5y + 1)(
+ y ) = 105
Vì 105 là số lẻ nên 2x +5y +1 và
+ y phải là các số lẻ.
Từ 2x +5y +1 là số lẻ mà 2x +1 là số lẻ nên 5y là số chẵn suy ra y là số chẵn.