Đề thi HSG TP toán 9 có đáp án(đề xuất)

MÃ KÝ HIỆU
[*****]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu 01 trang)


Câu 1. (2 điểm)
1.1. Rút gọn biểu thức sau : P =

1.2. Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn
và
.
Chứng minh rằng
.
Câu 2. (2 điểm)
2.1. Cho phương trình (ẩn x):
có hai nghiệm x1 ; x2 .
Tìm m sao cho biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.
2.2. Giải hệ phương trình :

Câu 3. (2 điểm)
3.1. Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
3.2. Chứng minh rằng :


Câu 4. (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
1. Chứng minh rằng AHEK là tứ giác nội tiếp và (CAE đồng dạng với (CHK.
2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh (NFK cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK//MN và KM2 + KN2 = 4R2.
Câu 5. (1 điểm)
Sau một bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Hệ thống camera tự động đếm thấy có tất cả 66 cái bắt tay.
Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?
-------------------Hết-----------------



MÃ KÝ HIỆU
[*****]
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
MÔN: TOAN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Hướng dẫn chấm gồm 04trang)


Chú ý:
- Thí sinh làm bài theo cách khác thì cho điểm vẫn cho điểm tối đa
- Điểm bài thi 10
Câu
Đáp án
Điểm

1
(2 điểm)
1.1 (1điểm)


Có : A =

A =

Tương tự có:
B =


Từ đó
Tập xác định là x
và

Ta có P = A+B =

=

=

=

Vậy P =
Với x
và x






0,25




0,25






0,25




0,25


1.2 (1điểm)



và








hay
. Do đó

. Vậy


0,25




0,25

0,25

0,25

2
(2 điểm)
2.1 (1điểm)







Phương trình có 2 nghiệm

hoặc

0,25


Theo hệ thức Vi-ét ta có :




Ta có:

0,25







Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi m = 3 >

0,25


Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là
khi m = 3.
Ghi chú: Nếu thí sinh không tìm được ĐK : m
hoặc m
nhưng có thế m = 3 vào biểu thức
= 4 > 0 thỏa mãn điều kiện có nghiệm thì vẫn không bị trừ điểm.

0,25


2.2 (1điểm)



+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0.
+ Với xyz
0 thì (I) được viết lại:

(II)
Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:



(*)
Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có : x = 1, y = 2, z = 3.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3).





0,25





0,25


0,25

0,25

3
(2 điểm)
3.1 (1điểm)


Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m
N)