ĐỀ THI HSG TOÁN TP HÀ NỘI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
KÌ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ-LỚP 9
Năm học 2011-2012

 Môn Toán
Ngày thi: 04-4-2012
Thời gian làm Câu: 150 phút
(Đề gồm 01 trang)
Câu I (5,0 điểm)
1) Cho biểu thức A=(a2012+b2012+c2012) – (a2008+b2008+c2008) với a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh A chia hết cho 30.
2) Cho f(x)=(2x3-21x-29)2012
Tính f(x) tại x=+
Câu II (5,0 điểm)
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình:


Câu III (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn:
2x2+3y2-5xy-x+3y-4=0
Câu IV (4,0 điểm)
Cho A là điểm thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC (A không trùng với B, C). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AO ( MN.
2) Cho AH = cm, BC=cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC.
Câu V (4,0 điểm)
Gọi h1, h2, h3, r lần lượt là độ dài các đường cao và bán kính đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều khi và chỉ khi:

Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2012 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.
---------------------------- Hết ---------------------------
(Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ……………………………………Số báo danh: …………………..