De thi hsg toan lop 9- Bang B-QN -2004-2005

sở giáo dục - đào tạo
quảng ninh
-------- --------
kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
lớp 9 năm học 2004-2005



đề thi chính thức


môn : Toán





(bảng b)

Số BD: ........



Thời gian làm bài : 150 phút

Chữ ký GT 1



(không kể thời gian giao đề)












Bài 1:
Giải phương trình : + = 2

Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện : + x2 = + y2
Chứng minh rằng x = y.

Bài 3:
Gọi a là tham số thực sao cho phương trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 và x2 .
1) Tính theo a giá trị biểu thức A =
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A .

Bài 4:
Cho hai đường tròn (O) và (O`) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Qua A vẽ cát tuyến MAN với M thuộc (O) ; N thuộc (O`) và M, N không trùng với A. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn (O`) ở I.
1) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng MN là lớn nhất khi cát tuyến MAN song song với đường thẳng OO`.
2) Chứng minh rằng bốn điểm B, M, I, N nằm trên một đường tròn.


Hết -------------------------







hướng dẫn chấm thi HSG tỉnh năm học 2004-2005
môn toán lớp 9 - bảng B
-------------------

Bài
Sơ lược lời giải
Cho điểm

Bài 1
Điều kiện: (x-1)(x-2) ( 0; (x-1)(x-3) ( 0; (x-1)(x-4) ( 0 (*)
0,5 đ

5 điểm
* Nếu x ( 4 thì áp dụng công thức với A, B ( 0, ta được:
(1) <=> + = 2
<=> = 2(1a)
Giải (1a) với x ( 4, được kết quả (1a) vô nghiệm.




1,0 đ


* Nếu 1< x < 4 thì (x-1)(x-4) < 0, không thoả mãn điều kiện (*)
=> không có x nào thuộc khoảng (1 ; 4) là nghiệm của (1)

1,0 đ


* Nếu x = 1, thử trực tiếp và thấy x = 1 là nghiệm của (1)
1,0 đ


* Nếu x < 1thì áp dụng công thức với A, B ( 0, ta được:
(1) <=> = 2
<=> + = 2(1b)
Giải (1b) với x < 1, được kết quả (1b) vô nghiệm.




1,0


Vậy phương trình đã cho (1) có duy nhất nghiệm x = 1.

0,5 đ

Bài 2
5 điểm
Giả sử có x, y thoả mãn + x2 = y2 => x ( 1; y ( 1
- Nếu x = 1 = y thì có ngay x = y (đpcm!)
0,5 đ
1,5 đ


- Nếu x, y không đồng thời = 1 thì bằng cách nhân với BT liên hợp, được:
+ x2 = + y2 <=> + (x2 - y2) = 0
<=> (x - y+ (x2-y2) = 0
<=> (x - y).(1+ x + y) = 0
<=> x - y = 0 (vì 1+ x + y > 0) <=> x = y
Vậy nếu có x, y thoả mãn