Đề thi HSG Toán 9 TP Phủ Lý 2017

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ PHỦ LÝ
-----------
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC: 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi có 01 trang)
Ngày 21 tháng 3 năm 2017


Câu 1 (3,0 điểm). Cho biểu thức:
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm số nguyên x để
có giá trị là số nguyên.
Câu 2 (6,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình:
.
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
.
Câu 3 (3,0 điểm).
a) Cho đường thẳng (d) có phương trình:
và điểm A(1; 1). Tìm trên (d) một điểm B sao cho AB có độ dài nhỏ nhất. Tìm độ dài nhỏ nhất đó.
b) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:

.
Câu 4 (6,0 điểm).
Cho (O; R) và điểm M cố định trong đường tròn. Qua M vẽ hai dây cung CD và EF (không đi qua tâm O). Hai tiếp tuyến qua C và D của (O) cắt nhau tại A. Hai tiếp tuyến qua E và F của (O) cắt nhau tại B. Gọi P là giao điểm của CD và AO. Gọi Q là giao của EF và BO. Chứng minh rằng:
a) OP.OA không đổi khi dây CD quay quanh M.
b) Tứ giác ABQP nội tiếp.
c) AB luôn đi qua điểm cố định khi CD và EF quay quanh M.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có đáy BC cố định, đỉnh A di động sao cho góc BAC có số đo không đổi bằng
, I là trung điểm của AB. Kẻ IP vuông góc với AC (P thuộc AC). Chứng minh rằng khi A di động thì P chuyển động trên một đường cố định.
-----Hết-----