Đề thi HSG toán 9 Tỉnh Quảng Ngãi 2017

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO               KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
         QUẢNG NGÃI                                                     NĂM HỌC 2016 - 2017
    Môn: TOÁN (Ngày thi: 23-02-2017)
_____________________
Bài 1:  a) Chứng minh rằng với mọi n nguyên thì n5+1999n+2017n5+1999n+2017 không phải là số chính phương
            b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2+5y2+2xy+4y=12
            c) Cuối học kỳ, một học sinh có 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng điểm các bài kiểm tra là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10
Bài 2: a) Giải phương trình 
3
𝑥+5 -
3
𝑥−2=1
           b) Giải hệ phương trình x3 +y3 =8
x+y+2xy=2
Bài 3: a) Cho −5/3≤x≤5/3; x ≠ 0 và 
5+3𝑥−
5−3𝑥=a Tính P
10+2
25−9
𝑥
2
𝑥   
          b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 12.
          Tìm GTNN của M
2𝑥+𝑦+𝑧−15
𝑥 +
𝑥+2𝑦+𝑧−15
𝑦 +
𝑥+𝑦+2𝑧−15
𝑧

Bài 4:  1) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và G là trọng tâm tâm tam giác ABC. Tính độ dài đoạn thẳng IG.
            2) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt lấy trên cạnh BC, CD và DA sao cho tam giác MNP đều.
            a) Chứng minh rằng CN2 – AP2 = 2DP.BM
            b) Xác định vị trí của M, N, P để tam giác MNP có diện tích bé nhất .
Bài 5: a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R, biết AB = c, AC = b, BC = a và thỏa mãn hệ thức R(b+c) = a√𝑏𝑐. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?  
             b) Trên mặt phẳng cho 6 điểm bất kỳ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm tùy ý luôn lớn hơn 1. Chứng minh rằng không thể phủ cả 6 điểm này bằng một hình tròn có bán kính bằng 1.