Đề thi HSG toán 9 Tỉnh Quảng Ngãi 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI




(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2016 -2017
MÔN TOÁN LỚP 9
Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------


Bài 1 (4,0 điểm).
1) Rút gọn biểu thức: A =

2) Cho

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B
Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình
1) Giải phương trình :

2) Giải phương trình:
.
Bài 3 (3,0 điểm).
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Bài 4 (7,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.
a) Chứng minh

b) Chứng minh
CJH đồng dạng với
HIB
c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2
d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 (2,0 điểm). Cho
. Chứng minh rằng
.

-------------------HẾT--------------------

Họ và tên thí sinh:……………..……............…… Họ, tên chữ ký GT1:……………………..
Số báo danh:……………….……..............……… Họ, tên chữ ký GT2:……………………..

GD-Đ
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi : Toán 9


Bài
Câu
Nội dung
Điểm

Bài 1 (4 đ)
Câu 1
(1,75đ)
1. Rút gọn biểu thức: A =





A =
=

0,75



A =

0,5



A =

0,5


Câu 2
(2,25)
2.





a) ĐKXĐ:

0,25





0,5





0,5



b) B = A + x – 1=

0,5



Dấu “=” xảy ra
( TM ĐKXĐ)
0,25



Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
0,25



Bài 2 (4 đ)

1) Giải phương trình :




Câu 1
(2đ)
ĐKXĐ :

0,25





0,5





0,25




(*)
0,25



Nếu
phương trình (*)

(TM)
0,25



Nếu
phương trình (*)
( TM)
0,25



Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=5
0,25


Câu 2
(2đ)
2) Giải phương trình:
.




Đặt
(

0,25





0,25



Từ (1)
(2)
0,25



Vì
, từ (2) suy ra:
. Vì vậy
(3)
0,25



Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2

0,25





0,5



Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x=

0,25



Bài 3 (3 đ)
Câu 1
(1,5đ)
1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.




Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên.
Suy ra: 2016k = a3 - 3
Ta chứng minh a3 – 3 không chia hết cho 7.
0,5



Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r
.
0,25



Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a3 – 3 không chia hết cho 7
0,5



Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên