đề thi hsg toán 9 thanh văn

Phòng GD&ĐT Thanh Oai
Trường THCS Thanh Văn

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 9
Năm học 2014- 2015
(Thời gian 120 phút)
Câu 1. (6 điểm)
a, Cho biểu thức:

1. Rút gọn
.
2. Tính P khi
.
3. Tìm giá trị nguyên của
để
nhận giá trị nguyên.
b,Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2+ n +1không chia hết cho 9
Câu 2. (4 điểm)
Giải phương trình:
1.

2.

Câu 3: (3 điểm)
a, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 )
b,Chứng minh bất đẳng thức:

.
Áp dụng giải phương trình:
= 5
Câu 4: (6 điểm)
Cho AB là đường kính của ( O; R ) C là một điểm thay đổi trên đường tròn ( C khác Avà B) , kẻ CH vông góc vớiAB tại H . Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O,R) tại M, MB cắt CH tại A của đường tròn (O,R) tại M, MB cắt CH tại K
a, Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O,R)
c, Chứng minh K là trung điểm CH
d, Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R.
Câu 5: (1 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên

- Hết -
Duyệt của BGH Xác nhận của tổ Người ra đề

Ngô Thị Liên

Đáp án - Biểu điểm
Câu 1:
Với x > 0, x khác 1
a,
1. (1 điểm)


2. (1điểm)




3. (1 điểm)
ĐK:
:


Học sinh lập luận để tìm ra
hoặc

b, (3 điểm)
Giả sử: (n2 + n + 1)
9 (1)
Suy ra: (n2 + n + 1)
3
Ta có: n2 + n + 1 = (n – 1)(n + 2) + 3
Suy ra (n – 1)
3 hoặc (n + 2)
3
Mà (n + 2) – (n – 1) = 3 nên cả hai số (n + 2) và (n – 1) đều
chia hết cho 3.
Do đó (n – 1)(n + 2)
9
Suy ra n2 + n + 1 chia 9 dư 3, mâu thuẩn với (1).
Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.

Câu 2:
1. (2 điểm)
ĐK:
:

, dấu “=” xảy ra



dấu “=” xảy ra

2. (2 điểm)
ĐK:
. Nhận thấy:
không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho
ta có:

Đặt
, thay vào ta có:



Đối chiếu ĐK của t


Câu 3 :
a, (1 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên
5x2 + 9y2 – 12xy + 8 = 24( 2y – x – 3 )

5x2 + 9y2 – 12xy + 8 +24x –48y +72 = 0
4x2 + 9y2 + 64 – 12xy – 48y + 32x +x2 – 8x +16 = 0
( ( 2x – 3y + 8 )2 + ( x – 4 )2 = 0
suy ra x – 4 = 0 và 2x – 3y + 8 = 0
=>x =4 và y = 16/ 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

b, (2 điểm)
Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2

a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2



ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m
Nếu ac + bd
0 (1)
( a2 + b2 )(c2 + d2)
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2
a2c2 + b2d2 +2acbd

a2d2 + b2c2 – 2abcd
0
(ad – bc)2
0 ( luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra
ad = bc


Áp dụng: xét vế