đề thi hsg toán 9 thanh cao

Trường THCS Thanh Cao
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
NĂM 2014-2015
Thời gian làm bài: 150`


Câu 1: (6 điểm)
1. Cho A = :
a. Rút gọn A
b. Tính A khi x = +
2. Cho n là số nguyên dương và n lẻ. CMR:
1947
Câu 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình - =
2. Cho x, y, z là 3 số khác nhau. CMR:
+ + = + +
Câu 3: (3 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 - x2y + 3x - 2y - 5 = 0
2. Với mọi x; y và x + y = 3. CMR + 6
Câu 4: (6 điểm)
Cho (O; R) điểm A cố định nằm ngoài (O). Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O). Trên cung nhỏ BC lấy điểm K bất kỳ (KB,C). Kẻ tiếp tuyến tại K của (O) cắt AB, AC lần lượt tại M và N.
a) CMR khi K chuyển động trên cung nhỏ BC thì chu vi AMN không đổi.
b) Qua O kẻ đường thẳng OA cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. CMR MP + NQ PQ.
c) Tính AO theo R để diện tích APQ nhỏ nhất.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y + z = xyz

ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM
Câu 1:
1. a) ĐK: x
0; x
1
Rút gọn A =

b) Lập phương 2 vế tính x = 2
Thay vào A: => A =
= … = 3-2

2. Ta có: 46n + 296.13n = 46n - 13n + 297.13n
= 46n - 13n + 9.33.13n
= (46-13).(…) + 9.33.13n
= 33 . (…) + 9.33.13n
33

Lại có: 46n + 296.13n = 46n + 13n +295.13n = (46n +13n) + 5.59.13n
= (46+13) . (…) + 5.59.13n
= 59.(…) + 5.59.13n
59 (
Mà (13; 39) = 1 Nên từ
và ( => 46n + 296.13n
33.59 = 1947 (đpcm)
Câu 2:
1. ĐK: x

-> x + 3
0
Ta thấy (4x + 1) - (3x -2) = x +3
Nhân cả 2 vế của phương trình đã cho với biểu thức liên hợp của vế trái
Ta có phương trình đã cho <=> x +3 =
(

<=> (x+3)
= 0
<=>
= 5 (Vì x +3 > 0) (
Bình phương 2 vế phương trình ( ta được

= 52
…………………………….
x = 2 ( tmđk)
Vậy S =

2. Ta có:
=
=
-
=
+


CM tương tự:
= ….. =
+
(

= …. =
+
(
Cộng vế của và ( ta được đpcm.
Câu 3: (1,5 điểm)
1. x2y + 2y = x3 + 3x - 5
<=> y (x2+2) = x3 + 3x - 5
<=> y =
=

y = x +

Vì x
z, y
z =>

z -> x - 5
x2 + 2
=> (x+5)(x-5)
x2 + 2 => x2- 25
x2 + 2 => x2 + 2 - 27
x2 + 2
-> 27
x2 + 2 => x2+ 2
Ư(27) mà x +2
2.
Xét các trường hợp => no của pt là: (x; y) = (-1; -3) ; (5;5)
2. (1,5 điểm)
Ta có:
+
=

=> A2





=

A



+

6
Dấu "=" xảy ra khi x = y =

Câu 4: (6 điểm)
a) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AB = AC
MB = MK
NK = NC
Chu vi
AMN = AM + AN + NA
= AM + MK + KN + NA
= AM + MB + CN + NA
= AB + AC
= 2 AB