đề thi hsg toán 9 phương trung

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 - TRƯỜNG THCS PHƯƠNG TRUNG

Bài 1: (6đ)
a. Cho P =

1. Rút gọn P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
b. Tính giá trị A
A=

tại x =


Bài 2 (4đ)
a, Giải phương trình.




b, Với a,b là các số nguyên. chứng minh rằng nếu 4a2 + 3ab - 11b2 chia hết cho 5 thì a4- b4 chia hết cho 5.
Bài 3: (3đ)
a. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phương trình:
x2 +xy+y2 = x2y2
b. Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x+y+z =3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
P=


Bài 4: (6đ)
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên 1 đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn (0) cố định luôn đi qua B và C ( 0 không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM, AN là các tiếp tuyến với (0) tại M, N. Gọi I là trung điểm của BC, OA cắt MN tại H cắt (0) tại P và Q ( P nằm giữa A và 0).
BC cắt MN tại K.
a. Chứng minh 4 điểm 0, M, N, I cùng nằm trên 1 đường tròn.
b. Chứng minh điểm K cố định
c. Gọi D là trung điểm của HQ. Từ H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt MP tại E.
CMR: P là trung điểm của ME.
Câu 5: (1đ)
Tìm tất cả các tam giác vuông có 3 cạnh là số nguyên và có diện tích bằng chu vi.




ĐÁP ÁN

Bài
Phần
Nội dung
Điểm

Bài 1
a
4đ
1, P=
đk: x
, x
9
=

=

=

=

=

=

2,
P=
=

P =

Vì x
0 ->

Áp dụng BĐT cô si


P
-> Min P = 4 -> x=4



0,5


0,25


0,25

0,5

0,25

0,25


0,5


0,5


0,5

0,5



b)
2đ
A3=x3-3x+3A

<-> A3 = x3 -3x +3A
<-> A3 - 3A - x3 + 3x = 0
<->(A-x)(A2 + Ax + x2) - 3(A-x)=0
<-> (A-x)(A2 + Ax + x2-3)=0
A3 + Ax + x2 - 3 > 0
-> A - x = 0 -> A = x
Vậy A =



0,5

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 2
4đ
a

3đ
Giải pt
*

đk: x


áp dụng

=>



=

* Nếu
>0 =>
=> mâu thuẫn VT>0, VP <0
* Nếu
<0 >
=> mâu thuẫn
Vậy
=0 => x2 =4
=> x=2 (thoả mãn)
=> x=-2<0 loại

*

có 3x2 -12x + 16 = 3(x2 - 4x + 4) + 4
= 3(x-2)2 + 4
4



=

=> VT

Mà VT=Vp=5
=> Dấu "=" Xảy ra =>
=>


0,25





0,25




0,25

0,25

0,25

0,25





0,25

0,25
0,25

0,25

0,5



Bài 3
3đ
a

1,5đ










b
1,5đ
Tìm x, y

x2 + xy + y2 = x2y2
Nhân 2 vế với 4
<=> 4x2 + 4xy + 4y2 = 4x2y2
<-> (2x+2y)2=(2xy +1)2 -1
<-> (2xy +1 +2x+2y)(2xy+1 -2x-2y)=1
<-> 2xy +1 +2x+