De thi HSG toan 9-ninh binh-DA

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011-2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
CÂU 1: (5đ)
Cho biểu thức : P=−a√a+a√+1−−√a√+a−√−2
1. Rút gọn P.
2. Tìm GT nhỏ nhất của P.
CÂU 2: (5đ)
Giải các phương trình sau:
1. −+−+13=+1++23
2. −−−−−5=0; (với x;y nguyên)
CÂU 3: (4đ)
Cho đường tròn (O;RĐường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tuỳ ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (Ovẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O( N,P là hai tiếp điểm).
1. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. CMR tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.
CÂU 4:(4đ)
1. a) Tìm Max của : y=|x|9−
b) GT x,y,z là những số dương thoả mãn đk: xyz=1.
Tìm min: f(x)=(y+z)+(x+z)+(x+y
2. Cho 3 số a,b,c thoả mãn: a+b+c=1 ; ++=1;++=1.
CMR: +1++1++1=1 với nϵN
CÂU 5: (2đ)
Cho △ABC thay đổi có AB=6 và AC=. Tìm giá trị lớn nhất của S△ABC.
Bài 1:
ĐKXĐ: a>0, a ≠ 2
P=a−3 +4 = ( -3/2)2 +4-9/4 ≥ 7/4
minP =7/4(a=9/4 
Bài 2:
1/ chuyển vế: đặt  =a,  =b, ta có PT: a3+a=b3+b
( (a-b)(a2+ab+b2-1)=0
2/ Giải phương trình sau:  x4−2y4−x2y2−4x2−7y2−5=0; (với x;y nguyên)
Đặt: a=x2≥0; b=y2≥0 PT tương đương với: a2−2b2−ab−4a−7b−5=0 ( a2−a(b+4)−2b2−7b−5=0 (*) coi (*) là PT ẩn a thì đk cần để có nghiệm a là: Δ=(b+4)2+8b2+28b+20=(3b+6)2≥0 với b≥0 Mà a≥0 nên ta tìm được: a=2b+5. => x2−2y2=5 (1) đến đây ta xét Module 3, hai vế của (1), từ đó ta => PT không có nghiệm với  x, y nguyên 
Bài 3:
a/ MNOP là hình vuông ( MN=MP= R ( OM = R(có 2 vị trí điểm M thoả mãn)
b/ Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là trung điểm của OM ( do tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn đường kính OM). Gọi X và Y lần lượt là trung điểm của OA và OB thì: IX // d và IY //d nên I di chuyển trên đường cố định đi qua X và Y trừ ra những điểm thuộc đoạn XY. 
Bài 4: 1. a/ y =  =
≤  . Dấu = xảy ra khi x = ± 
b/


2.Ta có: (a+b+c)=1((a+b+c)2=1(a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1(ab+bc+ca=0(1) Ta lại có: a3+b3+c3=1(a3+b3+c3−3abc=1−3abc((a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=1−3abc(
3abc=0(abc=0 Vậy hoặc: a=0,b=0,c=0 Thay vào a+b+c=0 ta được nghiệm của hệ có 2 nghiệm = 0, 1 nghiệm =1 suy ra ĐPCM