đề thi HSG toán 9 Nghệ An 2019

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2018 -2019
Mônthi: TOÁN - BẢNG A
Thờigian: 150 phút (khôngkểthờigiangiaođề)

Câu 1.(3,0 điểm).
a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
.
b. Chứng minh rằng
chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.
Câu 2.(6,5 điểm).
a. Giải phương trình:


b. Giải hệ phương trình:

Câu 3.(2,5 điểm).
Cho
là các số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


Câu 4.(6,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B, C của tam giác đó. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ nhất M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tại N. Chứng minh rằng:


AM = AN.
Cho tam giác nhọn ABC, D là điểm trong tam giác đó sao cho
và AC.BD = AD.BC. Chứng minh
.
Câu 5. (2 điểm).
Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng
nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho.


---------- HẾT ----------
Họ và tên: ................................................................................................................................
Số báo danh: ..................................................