Đề thi HSG toan 9 New

PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG II
NĂM HỌC: 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. Cho biểu thức:

Rút gọn
.
Tính P khi
.
Tìm giá trị nguyên của
để
nhận giá trị nguyên.
Câu 2. Giải phương trình:




Câu 3.
Tìm các số nguyên
thỏa mãn:

Cho
, chứng minh:

Tìm số tự nhiên
để:
là số nguyên tố.
Câu 4.
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
Chứng minh:
không đổi
Chứng minh:

c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.
Câu 5.
Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.

Hết./.







PHÒNG GD & ĐT CẨM THỦY HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. V2
NĂM HỌC: 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN 9.
Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Câu
Ý
Nội dung cần đạt
Điểm

1
a


0,25

0,25

0.5
2,25


b




0.25


0.25



c
ĐK:
:


Học sinh lập luận để tìm ra
hoặc

0.25

0.25
0.25


2
a
ĐK:
:

, dấu “=” xẩy ra


, dấu “=” xẩy ra


(TMĐK), Vậy nghiệm của phương trình:

0.25

0.25


0.25


0.25
1,75


b
ĐK:
. Nhận thấy:
không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế cho
ta có:

Đặt
, thay vào ta có:



Đối chiếu ĐK của t




0.75


3
a

(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.

Vậy có 2 cặp số nguyên
hoặc



0.5
2.0


b



Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương:






Từ (1); (2); (3):








0.75



c
Xét
thì A = 1 không phải nguyên tố;
thì A = 3 nguyên tố.
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1)
Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1
Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1
Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên ần tìm n = 1.

0.25



0.5


4






0.25












3.0


a
Học sinh c/m:
ABF =
ADK (g.c.g) suy ra AF = AK
Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:

hay
(không đổi)
0.5
0,5



b
HS c/m

Mặt khác:
. Suy ra:
:

0,25

0,25

0,5



c
Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn. NP + NQ = MN
Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại