Đề thi HSG Toán 9 năm học 2011-2012

ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán (Thời gian 150 phút)

Câu 1(4đ): Giải các hệ phương trình sau:
a)

b)

Câu 2(3đ): Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


Câu 3(3đ): Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn điều kiện


Chứng minh rằng:
.
Câu 4(4 đ): Cho đường tròn tâm O, hai tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm), C là một điểm trên đường tròn tâm M bán kính MA và nằm trong đường tròn (O). Các tia AC và BC cắt đường tròn (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PQ là đường kính của đường tròn (O).
Câu 5(4đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và d là tiếp tuyến của (O) tại C. Gọi AH, BI là các đường cao của tam giác.
a) Chứng minh HI // d.
b) Gọi MN và EF lần lượt là hình chiếu của các đoạn thẳng AH và BI lên đường thẳng d. chứng minh rằng MN = EF
Câu 6(2đ): Chứng minh rằng tích của một số chính phương và một số đứng trước nó chia hết cho 12





Hết
















ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Đáp án
Thang điểm






















1



a)

Đặt u =
, v =
(
)
Ta có

Do u2 – v2 = (7x + y) – (2x+y) = 5x
Mà u + v = 5 nên u – v = x
Do đó u =
, v =

Từ phương trình thứ hai của (*) ta được
y = v + x – 1 =

Thay y =
vào phương trình (2) ta được


Với x = 1 ta được y = 2; x = 19 ta được y = 11
Thử lại hệ phương trình ta được hệ có một nghiệm là (1;2)




0.25
0.25
0.25
0.25



0.25



0.25

0.25


0,25


b)

Điều kiện

Xét phương trình (2) áp dụng bất đảng thức Cô Si ta có:

(3)

(4)
Vậy

Dấu “=” xảy ra



Ta thấy x = y =2 củng thỏa mãn phương trình (1)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2;2)



0.25

0.5

0.5

0.25

0.25


0.25










2





Ta có



Mặt khác, với x, y, z > 0, theo bất đẳng thức Cô Si ta có

,



Dấu = xảy ra khi x = y = z.
Ta có



Vậy



Vậy P đạt giá trị lớn nhất là
tại





0.25

0.5

0.25

0.25

0.5

0.25
0.25

0.5


0.25








3
Ta có:



Vậy

Tương tự:



Nhân ba bất đẳng thức trên ta được:





0.5

0.5

0.5


0.25

0.25


0.5

0.5














4







0.5


Để chứng minh PQ là đường kính của đường tròn (O), ta cần chứng minh ba điểm P, Q, O thẳng hàng.
Trong đường tròn tâm M ta có:

(góc ở tâm chắn cung AC)
Trong đường tròn tâm O ta có:

(góc ở tâm chắn cung AQ)
Suy ra
(1)
Chứng minh tương tự ta có

(2)
Tứ giác MAOB có


(3)
Từ (1), (2), và (3) suy ra: