đề thi hsg toan 9 năm 2016-2017

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN
TRƯỜNG THCS NGA THIỆN

ĐỀ CHÍNH THỨC



KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI - LẦN 1
Năm học: 2016 - 2017
Môn thi: Toán 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang, 06 câu)

ĐỀ BÀI
Câu 1 (4,0 điểm)
1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x:
A =
.
Điều kiện x
, x
4; x
9 ; x
1
2) Rút gọn biểu thức: B =

Câu 2: (3,0 điểm).
Cho đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d).
a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
b) Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 3: (4,0 điểm)
Với
Tính giá trị của biểu thức: B =
.
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) với x > 1, y > 1 sao cho
(3x+1)
y đồng thời (3y + 1)
x.
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) SABC =
AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.
b) tanB.tanC =
.
c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF.
d)
.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
Câu 6:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC, I là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB lần lượt tai M, N, K. Chứng minh rằng:



Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và Tên thí sinh:.......................................................Lớp:......................
SBD:................Phòng...................


PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NGA SƠN
TRƯỜNG THCS NGA THIỆN

HƯỚNG DẪN CHẤM
KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI -LẦN 1
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày 29/ 10/ 2016


Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm








1
(4đ)


1)



2điểm


Do x
0; x
1; x
4; x
9
A =

A =

A =

A =
=
=> ĐPCM




0,75







0,75



0,5



2)

2điểm



1,0


0,75

0,25

2
(3đ)
a.
(1,5đ)
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (d) đi qua điểm cố định N(xo,yo) là:
(m – 2)xo + (m – 1)yo = 1, với mọi m

mxo – 2xo + myo – yo – 1 = 0, với mọi m

(xo + yo)m – (2xo + yo + 1) = 0 với mọi m



Vậy các đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).


0,5 đ


0,5 đ



0,5 đ


b.
(1,5đ)
+ Với m = 2, ta có đường thẳng y = 1
do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1)
+ Với m = 1, ta có đường thẳng x = -1
do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)
+ Với m ≠ 1 và m ≠ 2
Gọi A là giao điểm của đường thẳng (d) với trục tung.
Ta có: x = 0
y =
, do đó OA =

.
Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành.
Ta có: y = 0
x =
, do đó OB =

Gọi h