Đề thi HSG toán 9 năm 2012 - 2013

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I
NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.5 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau
A =

B =

C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α)
Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình
a.


Bài 3: (2.0 điểm)
a. Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab.
Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?
b. Cho
và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:


Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
Từ đó hãy suy ra SAEF = SABC.
2

BH.KM = BA.KN


Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi luôn vuông góc với nhau tại M và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D và tạo góc
. Xác định số đo
để tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Hết./.
Họ và tên thí sinh……………………………………...……….SBD………….…………