Đề thi hsg toán 9 kim thư

PHÒNG GD& ĐT THANH OAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014-2015

TRƯỜNG THCS KIM THƯ
MÔN : TOÁN


Thời gian: 150 phút (không kể thòi gian giao đề)


Câu 1: (6 điểm)
1.(4đ) Cho A =

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của A .
2.( 2đ) Chứng minh rằng: ( n5- 5n3 + 4n) chia hết cho 120 với n € z
Câu 2: (4 điểm)
1.(2đ) Giải phương trình:

2.(2đ) Cho 3 số x, y, z đồng thời:
x2+2y +1 = y2+ 2z + 1 = z2 + 2x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: A = x2012 + y2013 + z2014
Câu 3 : (4 điểm)
1.(2đ) Tìm các số x,y thỏa mãn: y2 + 2y - 7x - 12 = 0
2.(2đ) Cho a, b, c là các số lớn hơn 1.
Chứng minh bất đẳng thức sau:


Câu 4 : (5 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J.
1. (2,5đ) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
2. (2,5đ) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất.
Câu 5: (1điểm) Tìm các số nguyên dương x sao cho 3x+ 4x = 5x
-------Hết -----
ĐÁP ÁN ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 (GỒM 5 TRANG)

Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm

Câu1
6đ

1
a
 ĐKXĐ









0,25


0,5


0,5



0,5

0,25


b

(vì
)
0.25đ

0.75đ


c


Vậy GTLN của A =


0.75đ


0.25đ

2

Ta có: n5 - 5n3 +4n = n3(n2 - 1) - 4n (n2 - 1)
= n (n -1)( n + 1 )( n - 2) (n + 2) = ( n -2 ) (n -1) n ( n + 1)( n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất 2 số là bội của 2 (trong đó 1 số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5).
Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8 .3 . 5 = 120 Nên n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120
0,5
0,5

0,5

0,25
0,25





Câu 2




4đ







1











Đặt
ta được phương trình:


y =
<0 (loại); với y = 2 ta có



hoặc
(thỏa mãn phương trình đã cho)
Vậy pt đã cho có 2 nghiệm:
,


0.5đ

0.25đ

0.25đ



0.25đ

0.5đ
0.25đ

2

x2+2y +1 = y2+ 2z + 1 = z2 + 2x + 1 = 0 suy ra
x2 +2y + 1 = 0
y2 +2z + 1 = 0
z2 +2x + 1 = 0
Cộng từng vế của các đẳng thức ta có:
( x2 +2x +1) + (y2 +2y+1) + (z2+2z +1) = 0

( x+ 1)2 + ( y +1)2 + ( z + 1)2 = 0
Mà ( x+ 1)2
0
( y +1)2
0
( z + 1)2
0 Dấu "=" của đẳng thức " * " xảy ra
( x+ 1)2 = 0
( y +1)2 = 0
( z + 1)2 = 0
Suy ra x= -1 ; y = -1 ; z =-1 .
Thay vào biểu thức