DE THI HSG Toan 9 ( Danh cho HS chuyen Toan)

Phòng GD- ĐT Tam Dương
Trường THCS Tam Dương
-----o0o-----
ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút
-----------------------

Bài 1: 2,5 điểm
a/ Rút gọn biểu thức:
với
b/ Cho trước số hữu tỉ m sao cho là số vô tỉ.
Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:
Bài 2: 2 điểm
Tìm số tự nhiên m, biết rằng khi bỏ đi 3 chữ số tận cùng bên phải của nó thì được một số mới có giá trị bằng
.
Bài 3: 2,5 điểm
Cho (ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AH, BI, CK. Chứng minh rằng:
a/ SABC =
AB.AC.SinA
b/ SHIK = ( 1- - - ).SABC
Bài 4: 1,5 điểm
Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác không có góc tù và x, y, z là các số bất kì. Chứng minh rằng:

Bài 5: 1,5 điểm
Cho một hình vuông và 9 đường thẳng, trong đó cứ mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là
. Chứng minh rằng trong số 9 đường thẳng đó có ít nhất 3 đường thẳng đồng quy.
-------------------------------------
Giám thị không giải thích gì thêm

ĐỀ SÁT TOÁN 9
------------------
Câu
Phần
Nội dung trình bày
Điểm

Câu 1
2,5 điểm
1)
1,5điểm
Đặt



0.25





0.25





0.25





0.25





0.25





0.25


2)
1,0điểm

(1)
Giả sử có (1)


Từ (1), (2)

 0.25



Nếu

là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!


 0.25




. Nếu b
0 thì
là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!
. Từ đó ta tìm được c = 0.
 0.25



Ngược lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0
 0.25

Câu2
2đ

Dễ thấy số cần tìm có từ 4 chữ số trở lên. Giả sử sau khi bỏ đi 3 chữ số tận cùng
của số m ta được số x, thì m = 103x +

0,5



Theo bài ra ta có: x =

( x3 = 1000x +
( x(x2 – 1000) =
(*)
0,25



- Nếu x ≥ 33 thì VT của (*) sẽ lớn hơn hoặc bằng 33. Vậy x < 33
0,25



- Nếu x ( 31 thì x2 ( 96, nên x(x2 – 1000) < 0 <

0,25



Vậy x = 32 suy ra
= 768
0,25



Từ đây: m = 103 .32 + 768 = 32768 . Số này thoả mãn yêu cầu đề bài
0,5

Câu 3

2.5đ








Câu 4

1,5đ







Câu 5

1.5đ
a)
1 điểm



b)
1,5điểm

Vẽ hình chính xác, viết GT, KT
Ta có SABC =

Trong tam giác vuông ABI thì sinA =

Vậy: SABC =
=

b) Ta có
cos2 A ( SAIK = SABC.cos2A
Chứng minh tương tự: SBKH = SABC.cos2B; SCIH = SABC.cos2C
Mà SHIK = SABC – ( SAIK + SBKH + SCIH)
= ( 1- cos2A - cos2B - cos2C).SABC
Với a2 + b2 + c2 > 0 ta có: (a2 + b2 + c2)(
) =
= x2 (2 +
) + y2 (2 +
) + z2 (2 +
)
= 2x2 +2y2 +2z2 +x2 (
) + y2 (
) + z2 (
) (*)
Giả sử a ( b ( c thì c2 – a2 ≥ 0 và c2 – b2 ≥0
Với c là cạnh lớn nhất mà