Đề thi HSG Toán 9 Cấp tỉnh (2015 – 2016)

UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2015 – 2016
––––––––– Môn thi: Toán – Lớp 9
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 24/03/2016
–––––––––
Câu 1. (3 điểm) Rút gọn biều thức:
P=

với
b>0, a
2b.
Câu 2. (4 điểm)
1) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2+ 2015x + 1 = 0; x3, x4 là nghiệm của phương trình x2+ 2016x + 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức:

( x1 + x3)( x2 + x3)( x1 – x4)( x2 – x4).
2) Trong mặt phẳng toạ độ
, cho hình chữ nhật
với
. Trên đường thẳng
tìm các điểm
( x, y là các số nguyên) thuộc hình chữ nhật
(các điểm này không thuộc các cạnh của hình chữ nhật
).
Câu 3. (4 điểm)
1) Cho các số dương thực a, b, c thoả mãn
. Chứng minh rằng
.
2) Với bộ số
ta có đẳng thức đúng
. Hãy tìm tất cả các bộ số
gồm các chữ số trong hệ thập phân, biết rằng
đôi một khác nhau và khác 0 thoả mãn
.
Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC với
. Gọi
lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC. Đường thẳng MN cắt các tia
lần lượt tại P và Q. Gọi
lần lượt là trung điểm của
.
Chứng minh các tứ giác
nội tiếp.
Chứng minh các điểm
thẳng hàng.
Chứng minh
.
Câu 5. (3 điểm)
1) Trên cùng một mặt phẳng cho 4033 điểm, biết rằng 3 điểm bất kì trong 4033 điểm trên luôn chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong các điểm nói trên có ít nhất 2016 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1.
2) Cho tam giác
với
. Gọi
là đường tròn tâm O
bán kính a. Tìm điểm m thuộc
sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.

------------ HẾT ------------
Ghi chú: – Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
– Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.