ĐỀ THI HSG TOÁN 9 CẤP HUYỆN

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P =
Q =
Bài 2: Biết Chứng minh rằng:
Bài 3: Chứng minh rằng với ( < 450, ta có sin2( = 2sin(. cos(.
Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó.
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa.
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự ở P, Q, R. Chứng minh rằng:
a)

b)


---------------------- Hết -----------------






Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P =
Q =
Bài 2: Biết Chứng minh rằng:
Bài 3: Chứng minh rằng với ( < 450, ta có sin2( = 2sin(. cos(.
Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.
Tính diện tích lớn nhất đó.
b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa.
Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
---------------------- Hết -----------------

Hướng dẫn chấm

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
P = = 2
Q = Đặt x = 2008, khi đó
Q = = = x + 1 = 2009
Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0 ( 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0
( (2a - b)(5a + 3b) = 0 (
Với b = 2a (

Bài 3: Xét (ABC có 900; Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH (
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m =
Ta có sin( = cos( = sin2( =
Do đó 2sin(. cos( = sin2(

Bài 4:
a/ Đặt
Ta có:

Suy ra diện tích của MNPQ là:


+ Ta có bất đẳng thức:
áp dụng, ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi:
Suy ra: Vậy: khi hay M là trung điểm của cạnh AB

b/ Giả sử đã dựng được hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F’. Dựng hình chữ nhật E`F`G`H`
Ta có: E`F`// EF và F`G`// FG, nên:
Do đó E`F`G`H` là hình vuông
+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E` tuỳ ý, dựng hình vuông E`F`G`H` (G`, H` thuộc cạnh BC). Dựng tia