Đề thi HSG toan 9 bac ninh

phòng GD - ĐT Vũ Thư
--- *** ---
Đề khảo sát học sinh giỏi LẦN 2
Môn: Toán lớp 8 - Năm học: 2016 -2017
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)

b)



Câu 2. (4,0 điểm)
Tìm các số a và b sao cho đa thức
chia cho đa thức
có dư là 2x + 5
Cho đa thức
(a, b, c, d là các số thực xác định).
Biết P(1) = 2016; P(2) = 4032; P(3) = 6048. Tính P(5) + P(-1).
Câu 3. (2 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

Tính giá trị biểu thức:

Câu 4. (4 điểm)
a) Cho các số thực x, y thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn:

Câu 5: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BM = BF. Qua B kẻ một đường thẳng vuông góc với MC tại H cắt cạnh AD tại N.
Chứng minh MB = AN
Tứ giác CDNF là hình gì? Vì sao?
Chứng minh HF ( HD
Câu 6. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm bất kỳ trên trên cạnh BC (M khác B, C). Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh BC thì đường thẳng Qua M vuông góc với PQ luôn đi qua một điểm cố định.
----------- Hết --------sss---
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2
Câu
Hướng dẫn giải
Điểm

Câu 1
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)

b)



4đ

a
(1,5 điểm)

=

0,5


=

0,5


= (a + b)(2a + b)(a + 2b)
0,5

b
(1,5 điểm)


0,5


= 3x(2x + 5) - (2x + 5)
0,5


= (2x + 5)(3x - 1)
0,5

c (1 điểm)


0,25


= (x4 + 4x2) - (2x3 + 8x) + (2x2 + 8)
0,5


= (x2 + 4)(x2 - 2x + 2)
0,25

2
Tìm các số a và b sao cho đa thức
chia cho đa thức
có dư là 2x + 5
Cho đa thức
(a, b, c, d là các số thực xác định). Biết P(1) = 2016; P(2) = 4032; P(3) = 6048. Tính P(5) + P(-1).

4đ

a
(2.0 điểm)
Gọi thương của phép chia f(x) cho g(x) là q(x). Ta có:


0,5






0,5


Cho x = -1 ta được: a + b = -2
Cho x = 3 ta được: 9a + b = -34
0,5


Tìm được a = -4 và b = 2 và kết luận
0,5

b
(2.0 điểm)
Xét đa thức Q(x) = P(x) - 2016x
0,5


Ta có Q(1) = P(1) - 2016 = 0
Q(2) = P(2) - 4032 = 0
Q(3) = P(3) - 6048 = 0
( x = 1; 2; 3 là nghiệm của đa thức Q(x)
0,5


P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1, 2016x là đa thức bậc 1 nên đa thức Q(x) có bậc 4 hệ số cao nhất là 1.
0,25


( Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - k) (k là số thục cho trước)
0,25


( P(x)