Đề thi HSG toán 9-Bắc giang 2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
Môn thi: Toán-lớp 9.
Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010.
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề).


Câu I (4,0 điểm).
Cho biểu thức
.
1. Tìm các giá trị của x để
.
2. Chứng minh rằng
với mọi x thoả mãn
.
Câu II (4,0 điểm).
1. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn : a2 + c2 = b2 + d2
Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .
2. Tìm
nguyên dương thỏa mãn:


Câu III (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
.
2. Cho phương trình:
(m là tham số).
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4 nghiệm
phân biệt thỏa mãn:
.
Câu IV (6,0 điểm).
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO. Một đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên đoạn CI lấy điểm K bất kì (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt đường thẳng a tại N, tia BM cắt đường thẳng a tại D.
1. Chứng minh rằng tam giác MNK là tam giác cân.
2. Tính diện tích tam giác ABD theo R, khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu V (2,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

.
----------------Hết----------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh:.............................................................................................Số báo danh:..............................................