De thi HSG Toán 9

Trường PTDT Nội Trú
Huyện Na Hang
đề số 2
Đề thi luyện đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 120 phút


Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
b) Cho x2 + y2 + z2 = 10. Tính giá trị của biểu thức:
P = (xy + yz + xz)2 + (x2 – yz)2 + (y2 – xz)2 +(z2 – xy)2
Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của A
b) Rút gọn A
c) So sánh A với 3
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
b) Giải hệ phương trình:
Bài 4: (4 điểm) Tìm a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 – |a – 1|x2 + |b – 2|x + 2b – a chia hết cho đa thức g(x) = x.(x – 1).
Bài 5: (4 điểm) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
c) Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
đáp án
Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3(x + y)z (x + y + z) – x3 – y3 – z3
= x3 + y3 +3xy(x + y) + z3 + 3(x + y)z (x + y + z) – x3 – y3 – z3
= 3xy(x + y) + 3(x + y)z (x + y + z)
= 3(x + y)(xy + zx + zy + z2)
= 3(x + y)(y(x + z) + z(x + z)(
=3(x + y)(x + z)(y + z)
b) Cho x2 + y2 + z2 = 10. Tính giá trị của biểu thức:
P = (xy + yz + xz)2 + (x2 – yz)2 + (y2 – xz)2 +(z2 – xy)2
P = x2y2 + y2z2 +x2z2 + 2xy2z + 2xyz2 + 2x2yz + x4 - 2x2yz + y2z2 + y4 - 2xy2z + x2z2
+ z4 - 2xyz2 + x2z2
= x4+ y4 + z4 +2(x2y2 + y2z2 +x2z2)
= (x2 + y2 + z2)2
= 102 = 100
Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định của A: ĐKXĐ x ( 0; x ( 1
b) Rút gọn P:

c) So sánh P với 3: Xét hiệu P - 3

Ta có P – 3 > 0, vậy P > 3
Bài 3: (4 điểm)
a) Giải phương trình:
ĐK: x ( 0

Giá trị x = 0 không thoả mãn ĐK
Vậy nghiệm của phương trình là x = -8
b) Giải hệ phương trình: Từ hệ phương trình đã cho ta có:
Lấy (1) – (2) ta được: x4 – y4 + 4 (x – y) = 0 ( (x –