De thi HSG toan 9

ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN TOÁN 9
Thời gian: 120 phút

Câu 1: Cho biểu thức D =
:

a) Rút gọn D
b) Tính giá trị của D khi a =

c) Tìm giá trị lớn nhất của D
Câu 2: a) Cho a+b+c= 2010 và

Chứng minh rằng trong các số a,b,c có ít nhất một số bằng 2010
b) Cho các số dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1. Tính giá trị của biểu thức:


Câu 3: Giải các phương trình sau:
a)

b)

Câu 4: Cho các tổng S=15+25+35+ ... + n5 và P= 1+2+3+ ...+ n ( n là sô tự nhiên khác 0)
Chứng minh rằng

Câu 5 a) Cho 3 số a,b,c thoả mãn

.
Chứng minh rằng

b) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=abc
Câu 6 a) Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn hệ thức 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy
b) Chứng minh rằng phương trình 2x2+2x = 4y3-z2+2 không có nghiệm nguyên
Câu 7: Cho (O;R) đương kính AB. Trên các bán kính OA,OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM=ON. Qua M và N vẽ các dây CD và EF song song với nhau (C,E cùng thuộc một nửa đường tròn đường kính AB)
a) Chứng minh rằng: tứ giác CDFE là hình chữ nhật
b) Cho
góc nhọn giữa CD và OA bằng 600.
Tính diện tích hình chữ nhật CDFE theo R.