De thi hsg toan 9

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP



(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: tháng 10 năm 2016



Bài 1 (4.5 điểm).
Chứng minh rằng với hai số thực bất kì
ta luôn có:
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
b) Cho ba số thực
không âm sao cho
.
Chứng minh:
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
.
Bài 2 (4 điểm).
a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng 2 lần tích các chữ số bằng số đó.
b) Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) - xyz

Bài 3 (4 điểm)
Tìm các số nguyên
thỏa mãn:

b) Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Bài 4 (4.5 điểm).
Cho tam giác ABC có
(
là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Bài 5 (3 điểm).
Cho tam giác ABC cân tại A,
. Hai điểm M và N lần lượt trên AC và AB sao cho:
và hai đoạn BM và CN vuông góc với nhau.
Tính diện tích tam giác ABC theo
.


Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................
Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................
PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP

(Hướng dẫn chấm và đề thi gồm có 03 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán


Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1: 4,5đ



1.1

2đ
Ta có:




Vậy:

Dấu đẳng thức xảy ra khi


0,5


0,5


0,5

0,5

1.2
2.5đ

Theo kết quả câu 1.1, ta có:


mà
(giả thiết)
nên:
(vì a, b, c không âm nên b + c không âm)
Nhưng:
(không âm)
Suy ra:
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:


0,25



0,25

0,25

0,25

0,50

Bài 2:(4 đ)



2đ
Gọi
là số tự nhiên cần tìm,
>0,
, x,y là số tự nhiên.
Ta có phương trình: 2xy=10x+y
2xy-10x-y =0

2x(y-5)-(y-5) =5
(2x-1)(y-5) =5

(2x-1)(y-5) =5.1=1.5 (Do x, y là số tự nhiên , x lớn hơn 0 nên 2x-1 lớn hơn 0...)

Vậy số tự nhiên cần tìm là 36
0.5


0.5

0.5



0.5

2đ
A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz
= xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ y+z)- xyz
= y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z)
= (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx]
= (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)]= (x+ y) (x+ z)(+ z)

0.5
0.5
0.5
0.5

Bài 3:4đ




2đ

(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.

Vậy có 2 cặp số nguyên
hoặc


1đ




1đ

2đ
A =(x