De thi hsg toan 9

PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP



(Đề thi gồm có 01 trang)


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15 tháng 10 năm 2017




Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng:
a. Với mọi số tự nhiên n > 1 thì số A = n 6- n 4 + 2n 3 + 2n 2
không thể là số chính phương.
b. Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b
cũng là tổng của hai số chính phương.
Bài 2: (3 điểm) Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức:
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0
Bài 3: (3 điểm) Cho hai số thực x, y thoả mãn phương trình:
2x + 3y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = 3x 2 + 2y 2.
Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình:

= x 2 +6x –1
Bài 5: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD,AB= 2BC.Trên cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD ở F.Chứng minh rằng :

Bài 5: (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A ,đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)
a, Tính độ dài đoạn DE
b, Chứng minh rằng AD . AB = AE.AC
c, Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N.
Chứng minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH .
d, Tính diện tích tứ giác DENM
Hết ./.



Họ tên học sinh: .................................................................; Số báo danh: .......................
Giám thị 2: ......................................................................... Ký tên ......................................


PHÒNG GD&ĐT NÚI THÀNH
TRƯỜNG THCS TRẦN QUÝ CÁP



(Gồm có 03 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 20 tháng 11 năm 2016



TT
Lời giải
Điểm

Bài1
4điểm
a.Giả sử n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = k 2 , k ( Z
<=> n4( n2 – 1) + 2n2 (n + 1) = k2
<=> (n + 1) n 2(n 3 – n2 +2) = k 2
<=> ( n+ 1)2 n2(( n – 1) 2 + 1( = k 2
=>( n – 1) 2 + 1 phải là số chính phương.
Nhưng ta có: (n – 1) 2 < ( n- 1) 2 + 1 = n 2 + 2 (1 – n) < n 2
do n >1 suy ra ( n- 1) 2 + 1 không phải là số chính phương.
Vậy A= n6 – n4 + 2n3 + 2n2 không thể là số chính phương.
b. Giả sử a = m2 + n 2 và b = p2 + q2
m;n;p;q( Z.
Ta có: a.b = (m2 + n 2 )( p2 + q2 ) = m2p 2 + m2q 2 +n2p2 +n2q2
= m2p 2 + n2q2 + 2mnpq +m2 q2 +n2p2 – 2mnpq
=(mp +nq)2 + (mq – np)2 Đ.p.c.m


Bài 2
3 điểm
5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 = 0 (1)
<=> 25x 2 + 25y 2 + 40xy + 10y – 10x + 10 = 0
<=>25 x2 + 16 y2 + 1 + 40 xy – 10 x – 8 x + 9y2 +18 y +9 = 0
<=> ( 5x + 4y – 1) 2 + 9 (x – 1) 2 = 0


Vậy x = 1, y = - 1 có đẳng thức (1).



Bài 3
3 điểm
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
(2x + 3y) 2 = (
( (
(3x2 + 2y2 )
=
( 3x2 + 2y2 )
Suy ra: 3x2 + 2y2 (

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khí:
x
và 2x + 3y = 1

=>



Bài 4
3 điểm
 Ta có: 7x3 – 11x2 +