De thi hsg toán 9

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)


Câu I (2,0 điểm).
Cho biểu thức:
với

1) Rút gọn A
2) Chứng tỏ rằng:

Câu II (2,0 điểm).
1) Giải phương trình:

2) Tìm x, y sao cho:

Câu III (2,0 điểm).
1) Tìm số nguyên x, sao cho :
với p là số nguyên tố.
2) Tìm m để hàm số bậc nhất
là hàm số nghịch biến.
Câu IV (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết
, tính độ dài dây BC theo R.
2) Cho
, BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp
là r. Chứng minh rằng:
.
Câu V (1,0 điểm).
Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

–––––––– Hết ––––––––


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu
Phần
Nội dung
Điểm

Câu I
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)





, với


0.25


0.25



0.25



0.25


2
(1,0 đ)
Xét

Do







0.50



0.25

0.25

Câu II
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
ĐKXĐ:



Đặt



Với
(TMĐK)

0.25

0.25

0.25


0.25


2
(1,0 đ)
ĐKXĐ:





(1)
Vì


Để (1) xẩy ra thì


0.25

0.25


0.25




0.25

Câu III
(2,0 điểm)
1
(1,0 đ)
Theo bài ra:
mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp nên
là số chẵn
p là số chẵn.
Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2



x = 1 hoặc x = - 2 (TM)

0.25

0.25

0.50


2
(1,0 đ)
Để hàm số
nghịch biến thì
(1).

(1)









0.25

0.25



0.25


0.25

Câu IV
(3,0 điểm)
1a
(1,0 đ)


Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK




(gt)



là hình bình hành
I là trung điểm của BC (gt)

là trung điểm của HK
O là trung điểm của AK (gt)

là đường trung bình của







0.25



0.25



0.25

0.25


1b
(1,0 đ)

cân tại O


(T/c góc ngoài của tam giác)


Chứng minh tương tự:




cân tại O

Vì I là trung điểm của BC (gt)

Trong
:




0.25

0.25

0.25


0.25


2
(1,0 đ)



C/m được AB + AC = 2r + a








BĐT (1) đúng

, dấu “=” xảy ra khi
v/cân tại A.

0.25

0.25




0.25


0.25

Câu V
(1,0 điểm)
(1,0 đ)

Do
, đặt
với

x = 1 + a – 3y, thay vào biểu thức C:


.

khi: