Đề thi HSG toán 9 2013 Tỉnh Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2012- 2013
Môn thi: Toán


Câu I. (4,0 điểm):
Cho biểu thức P =

Rút gọn P
Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.

Câu II. (5,0 điểm):
1. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình x4 – 4x3 + 8x + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
2. Giải hệ phương trình:

Câu III. (4,0 điểm):
Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.
Cho m, n là các số tự nhiên thoả mãn
. Chứng minh rằng

Câu IV. (6,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, nội tiếp đường tròn tâm (Ω). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, (ω) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Đường tròn (ω) cắt (Ω) tại hai điểm A, N (A
N), Đường thẳng AM cắt đường tròn (ω) tại hai điểm A, K (K
A).
Chứng minh rằng ba điểm N, H, M thẳng hàng.
Chứng minh góc NDE = góc FDK
Chứng minh rằng tứ giác BHKC nội tiếp.

Câu V. (1,0 điểm): Cho một bảng kẻ ô vuông kích thước 7 x 7 (gồm 49 ô vuông đơn vị). Đặt 22 đấu thủ vào bảng sao cho mỗi ô vuông đơn vị có không quá một đấu thủ. Hai đấu thủ được gọi là tấn công lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột. Chứng minh rằng với mỗi cách đặt bất kì luôn tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau.

_________________Hết _________________