De thi HSG Toan 9: 2011-2012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐAN PHƯỢNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian: 150 phút.

Bài 1 (5 điểm). Cho biểu thức:


a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi
và
.
c) Chứng minh rằng nếu
thì A có giá trị không đổi.
Bài 2 (4 điểm).
a) Giải phương trình:

b) Tìm x và y biết:
và

Bài 3 (4 điểm).
a) Cho
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

b) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Bài 4 (2 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). BE và CF là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho
. Chứng minh rằng AM = AN.
Bài 5 (5 điểm). Cho đường tròn (O) bán kính R. Lấy hai điểm A và B trên đường tròn (O). Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (O) sao cho chúng cắt nhau tại P. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến đường kính BC của đường tròn (O), D là giao điểm của hai đoạn thẳng OP và AB.
a) Chứng minh: PA = PB và OP ( AB.
b) Chứng minh: 4DP.DO = BH.BC
c) Cho OP = d. Tính AH theo R và d.
d) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AH. Chứng minh ba điểm P, E, C thẳng hàng.