De thi HSG Toan 9 (2)

Trường PTDT Nội trú
Đề số 5
đề luyện đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 150 phút


Bài 1: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

Bài 2: Giả sử a, b, c là những số thưck thỏa mãn a, b, c ( o và
Chứng minh rằng:

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
b)
c) x3 - 3x + 2 + |x - 1| = 0

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
a) BM vuông góc với EF.
b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.
c) Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tứ giác DEMF lớn nhất.
Bài 1: Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên

a) ĐK x ( 0
Đặt
= t ( 0

t ( 0; t ( 1; ; t ( 2; t ( 4 => x ( 0; x ( 1; x ( 4; x ( 16
b) Rút gọn ta được :
c)
Để 2A nguyên thì t – 2 là ước của 3
Xét các trường hợp => t = 3 ; 5
= > x = 9 ; 25
Bài 2: Giả sử a, b, c là những số thưck thỏa mãn a, b, c ( o và Chứng minh rằng:

* a + b + c = 0 => a + b = -c => (a + b)3 = -c 3 => a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) = 3abc
* ab + bc + ca = 0
* a6 + b6 + c6 = (a3 )2 + (b3)2 + (c3)2 = (a3 + b3 + c3)2 – 2(a3b3 + b3c3 + c3a3)
* ab + bc + ca = 0 => a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2
Do đó: * a6 + b6 + c6 = (3abc)2 – 2.3a2b2c2 = 3a2b2c2
+Vậy:

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
(
Đặt

Ta có PT: |y – 1| + |y – 3| = 0
Xét các khoảng ta được nghiệm

b)
ĐK: 4x – x2 ( 0
x2 – 4x + 3 = (4x – x2)2
Đặt y = 4x – x2 = 4 – (x – 2)2 => 0 ( t ( 4
Ta có PT : 3 – t = t2 ( t2 + t – 3 = 0
Giải PT ta được :
(t1 < 0 : loại ; 0 ( t2 ( 4 : t/m)
Thay t vào và giải PT : 4x - x2 = t2 ta được nghiệm

c) x3 - 3x + 2 + |x - 1| = 0
Phá dấu || và giải PT bậc ba

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:
a) BM vuông góc với EF.
b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.
c) Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tứ giác DEMF lớn nhất












a) Gọi K là giao của EM và BC. Ta có D EMF = D BKM (g.c.g) nên MFE = KMB
Gọi H là gia điểm của BM và EF, ta chứng minh được BH ( EF
b) D ADF = D BAE (g.c.g) , từ đó chứng minh được AF ( BE
Tương tự chứng minh được CE ( BF
Ta có BM, AF, CE là các đường cao của tam giác BEF nên đồng quy.
c) Diện