ĐỀ THI HSG TOÁN

UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỂ KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 9
Năm học 2016 - 2017
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề thi gồm 01 trang)


A. Phần trắc nghiệm. (3điểm) Chọn đáp án đúng trong các câu sau:
Câu 1. Nghiệm (x; y) của hệ phương trình
là: A.(3;-2); B.(3; 1); C.(1;3); D.(-3;1).
Câu 2. Đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm A(-2;-8). Khi đó hệ số a bằng:
A.- 2; B. - 8; C. 4; D. – 4.
Câu 3. Diện tích hình quạt tròn bán kính 3cm, cung 600 là:
A.
cm2 B.
cm2 C.
cm2 D.
cm2
Câu 4. Phương trình 3x2 - 4x +1 = 0 có tập nghiệm là: A.
; B.
; C.
; D.

Câu 5. Tam giác ABC nhọn nội tiêp đường tròn tâm O. Biết góc BOC = 800. Khi đó số đo góc BAC bằng: A. 800 ; B. 600 ; C. 400; D.1600.
Câu 6. Hình trụ có bán kính đáy 2cm, diện tích xung quanh 20
(cm2). Đường cao của hình trụ là: A. 3cm; B. 4cm; C. 5cm; D. 6cm.
B. Phần tự luận. (7 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm). Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m + 3)x - 2m + 1.
a. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 0.
b. Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
c. Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để
.
Bài 2. (1,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m, người ta định thu nhỏ diện tích trồng trọt còn 4256m2 để làm lối đi xung quanh vườn rộng 2m. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu khu vườn.
Bài 3. (3,5 điểm). Cho đường tròn (O, R) và một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm) và một cát tuyến di động AMN (AM < AN). Gọi E là trung điểm của MN; CE cắt (O) tại I.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh: AB2 = AM. AN và MN // BI
c. Gọi giao điểm của OA và BC là H. Chứng minh (MON = (MHN.
d. Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn nhất.
Bài 4. (0,5 điểm). Cho x
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = (2017 + x) - (
+ 2
)

--------------------- Hết ---------------------
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Đáp án - Biểu điểm

A. Phần trắc nghiệm (3điểm). Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6

B
A
D
B
C
C


B. Phần tự luận. ( 7 điểm)
Bài
Đáp án
Điểm





1
a. Xét PT hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 = 2(m + 3)x - 2m +1
( x2 - 2(m+3)x + 2m – 1 = 0 (1)
Thay m = 0 vào PT (1) và giải được


Vậy khi m = 0 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là: A(
; B(
.
0,5


b. Xét phương trình x2 - 2(m + 3)x + 2m – 1 = 0 (1)

= (m+2)2 + 6 > 0 với mọi m
( PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

0,5


c. Vì
là hoành độ giao điểm của (d) và (P) nên