Đề thi hsg toa 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
THI SINH cấp tỉnh
9 thcs 2009-2010

 Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

Câu 1 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương ?
Câu 2 (5 điểm)
Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình

Câu 3 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:

.
Tính giá trị của biểu thức:
Câu 4 (6 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R1) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, (D; R2) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B. Hai đường tròn (C; R1) và (D; R2) cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N.
c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất?
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng

----------------------------- Hết ------------------------------
Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD .............................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ
HƯỚNG DẪN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009-2010

MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 6 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
( Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
( Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
( Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II. Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (4 )
a) Chứng minh rằng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương ?

ÁN


a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên: 2n – 1, 2n , 2n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp.
0,5

Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên
(2n - 1).2n.(2n + 1) chia hết cho 3
0,5

Mặt khác (2n, 3) = 1 nên chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
0,5

 b) Ta thấy B là số chính phương 4B là số chính phương
Đặt 4B = k2 (kN) thì 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 2n-1-k)(2n-1+k) =-51
1,0

Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có các hệ


0,5

Giải hệ (