ĐỀ THI HSG TỈNH VINH TƯỜNG TOÁN 9

PHÒNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013 – 2014 (ĐỀ 3)
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013


Câu 1. a) Tính:

b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện
. Tính giá trị của biểu thức:


Câu 2. Giải các phương trình sau:
a)

b) 2(x2 + 2) = 5

Câu 3. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương
thỏa mãn
là số hữu tỉ, đồng thời
là số nguyên tố.
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (ABChứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn.
Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành.
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương.
Chứng minh :

Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1.
Chứng minh :

Câu 6. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu?
------------Hết------------
(Đề này gồm có 01 trang)
Họ và tên thí sinh: ……………………………..……Số báo danh: ……….....

PHÒNG GD&ĐT VT

HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG 9
NĂM HỌC 2013 - 2014



Câu
Ý
Nội Dung

Câu 1












Câu 2











Tương tự






ĐK: x
0. Pt

(1)



(2)
Từ (1),(2) suy ra:

,dấu “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt.
Vậy pt đã cho có nghiệm x=0.



ĐK: x
-1.
Đặt a =
, b =
với a
0, b>0.
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2(a2 + b2) = 5ab
(2a-b)(a-2b)=0

2a=b hoặc a=2b
Với a=2b

=2


4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm.
Với b=2a

=2


x2-5x-3 = 0
(thỏa mãn đk x
-1.)

Câu 3

Ta có
.


.




.



Vì
và
là số nguyên tố nên




Từ đó suy ra
(thỏa mãn).

Câu 4








( cùng nhìn cạnh BC)



Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC.



Ta có

DC
AC
Mà HE
AC; suy ra BH//DC (1)
Chứng minh tương tự: CH//BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành



Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD.
Do đó AM, HO trung tuyến của

G trọng tâm của


Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC,

Suy ra G là trong tâm của


Câu 5

(0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

=

(a+b+c)2

đpcm
(1 điểm) Vế trái

Đặt
với a, b,c >0
Khi đó M =

Sau đó áp dụng bđt ở phần a) và bđt
.
Từ đó có đpcm


Câu 6

Gọi xi là số ô được tô đỏ ở dòng thứ i.
Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; ở hàng thứ i số các cặp ô đỏ là C2xi =
Vậy tổng số các cặp ô đỏ là A=

Chiếu các cặp ô đỏ xuống một hàng ngang nào đó, theo giả thiết thì không có cặp ô đỏ nào có hình chiếu trùng nhau.
Vậy C213=78
A=




Áp dụng