đề thi hsg tỉnh Nghệ An

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011



Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Cho các số nguyên a1, a2, a3, ... , an. Đặt S =

và
.
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A =
(với
n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 2 (4,5 điểm).
a) Giải phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (4,5 điểm).
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và
.
Chứng minh rằng:

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


Câu 4 (4,5 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi
, xác định vị trí của điểm M để
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: .....................................


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011



ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Bảng A
--------------------------------------------

Câu:
Nội dung

1.




Với
thì
là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1










 Vậy








 với n > 1 thì
>



 và
<



 Vậy không là số chính phương
đpcm

2.







điều kiện



Đặt



(b>0)


Ta có:





Trường hợp1: a = 3b
Ta có:
(1)




0
phương trình (1) vô nghiệm


Trường hợp 2: b = 3a
Ta có:






Vậy phương trình có 2 nghiệm






Từ (3)
thay vào (2(4)


Từ (1)
(5)
Từ (4) và (5)



Chứng minh tương tự : y = z
Từ đó



Thay vào (1)




hệ có 2 nghiệm


3.



Áp dụng bất đẳng thức
(với x,y > 0)
Ta có:
;



Suy ra:
(1)


Tương tự:
(2)

(3)


Từ (1),(2),(3)





Dấu "=" xảy ra



Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho
và 2009 số 1 ta có:


2009



(1)


Tương tự:
(2)

(3)


Từ (1), (2), (3)



Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1

4.








Gọi giao điểm của BH với AC là E
AH với BC là F, CH với AB là I

HECF là tứ giác nội tiếp.