đề thi HSG tinh môn toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤPTHÀNH PHỐ
NĂM HỌC: 2015-2016
Môn: Toán – Lớp 9
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có: 01 trang

ĐỀ BÀI
Bài 1: (4điểm)
Cho P =
+

1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất
Bài 2: (4 điểm)
1. Giải phương trình

= 4
2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn
x2 + xy + y2 = x2y2
Bài 3: (4điểm)
1. Cho a = x +
; b = y +
; c = xy +

Tính giá trị biểu thức: A = a2 + b2 + c2 – abc
2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có.
3(x2 -
) < 2(x3 -
)
Bài 4: ( 4 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD
1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau.
2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.
Bài 5: (2 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm,đường cao AH dài 36cm.Tính độ dài BD, DC.
Bài 6: (2 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) =
.
Hãy tìm GTNN của
P =
+



PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤPTHÀNH PHỐ
NĂM HỌC: 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài
Câu
Tóm tắt cách giải
Điểm




1
(4 điểm)


1
2,5 đ


Điều kiện x > 0; x
1; 4
P =
+

=
+

=

P > 1

> 1

- 1 > 0


> 0


> 0 Theo đ/k x > 0
x + 3 > 0

x – 1 > 0
x > 1
Kết hợp điều kiện x > 0; x
1; 4
Suy ra x > 1; x
4 thì P > 1
0,5
0,5



0,5







0,5


0,5


2
1,5 đ
 P =
= 2 +
Với x > 0; x
1; 4
P nguyên
x – 1 là ước của 4
P đạt giá trị nguyên lớn nhất
x – 1 = 1
x = 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x =2

0,5

0,5
0,5






2
(4 điểm)



1
2 đ
Điều kiện x – 3 +

0
Phương trình tương đương

-
- 4
- 4x + 12 = 0 (
)
Xét x < -
Thì (
)
- 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

2x = -28

x = - 14 ( Thỏa mãn đk)
Xét -
≤ x < 1 Thì (
)
- 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

x =
( Thỏa mãn đk)
Xét 1≤ x <
Thì (
)
- 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

x =
( loại)
Xét x ≥
Thì (
)
3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0

x = -
(Loại)
Vậy phương trình có nghiệm x


0,25

0,5



0,25


0,25


0,25


0,25

0,25





2
2 đ
Ta có x2 + xy + y2 = x2y2


(x + y)2 = xy(xy +