ĐỀ THI HSG TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM 2011-2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :18/02/2012


Câu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1).

Câu 2: (2,0 điểm) Rút gọn : B =


Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n
Z )

Câu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x -
.So sánh f(1-
) và f(1-
).

Câu 5: (1,5điểm) Cho (ABC có trung tuyến AM .Chứng minh :


Câu 6 : (1,5điểm) Tìm số tự nhiên a biết a + 13 và a – 76 là các số chính phương.

Câu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta có :


Câu 8: (1,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =


Câu 9: (1,5điểm) Cho (ABC có
nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng:



Câu 10:(1,5điểm) Tìm các số nguyên tố x,y thoả mãn : x2 – 2y2 = 1

Câu 11:(1,5điểm) Cho (ABC, đường thẳng d cắt AB , AC và trung tuyến AM theo thứ tự tại E ,F,N
(E
A,B và F
A,C ).Chứng minh :

Câu12:(1,5điểm) Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường tròn. Gọi OH là khoảng
cách từ tâm O đến a và M là một điểm chuyển động trên a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến
MA,MB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB với
OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định .

. . . . . . . HẾT . . . . . . .
-Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh : ...................................... Giám thị 1: .......................................Ký tên...................
Số Báo danh ........................................... Giám thị 2: .......................................Ký tên...................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG


 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
Môn : TOÁN
Ngày thi :18/02/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM

Câu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1).
A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ
= (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ
= (a–b)3+(a–b)2 0,5đ
= 33+32=36 0,5đ
Câu 2(2,0 điểm) B =
0,5đ
=
0,5đ
=
0,5đ
= -1 0,5đ
Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( n
Z )
A = n3 – 6n2 – 12n + 18
A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 0,5đ

A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ
Do n(n – 1)(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n+1)
6 0,5đ
Mặt khác – 6n2 – 12n + 18
6 nên A
6 0,5đ