ĐỀ THI HSG TINH HẢI DƯƠNG 2009

UBND Tỉnh hảI dương Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
GD & ĐT hảI dương Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh
năm học 2008 – 2009
Môn toán
Thời gian 150 phút
Câu 1: ( 1,5 điểm)
Cho biểu thức A = với
Rút gọn biểu thức A.
Chứng minh rằng 0 < A < 2.

Câu 2: (2 điểm)
1) Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Câu 3: (2 điểm)
1) Giải phương trình:
2) Giải hệ phương trình:
Câu 4 ( 3 điểm):
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R ) . Điểm M thuộc cung nhỏ BC. gọi I,K,H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên AB; AC; BC. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB; HK.

1) Chứng minh MQ ( PQ.
2) Chứng minh :

3) Cho tam giác ABC đều. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất
Câu 5:
Trên một đường tròn ta lấy 1000 điểm rồi đánh số theo thứ tự cùng chiều từ 1 đến 1000. Bắt đầu từ số 1 cứ 15 số ta gạch đI một số, tức là xoá các số 1,16, 31….. Tiếp tục quá trình này qua một số vòng cho đến khi số 1 bị xóa lần thứ 2. Hỏi trước lúc đó còn lại bao nhiêu số không bị xoá ?

Hết .

Họ và tên thí sinh:............................................................ Số Báo Danh:................

Hướng dẫn chấm. - Đáp án biểu điểm
Câu
Đáp án – hướng dẫn
Điểm

1,5 điểm
1) với
Ta có A =


0,25



0,5


2) với ta luôn có A > 0
Lại có: hay A < 2
Vậy 0 < A < 2
0,25

0,25

0,25

Câu 2
2 điểm
Ta có a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 – ab3 +b4 )
=(a + b)[(a - b)2(a2 + ab + b2) + a2b2)
Do nên
Suy ra Đẳng thức sảy ra khi a = b.
Do đó: (1)
( vì có abc =1)
Chứng minh tương tự tacó (2)

(3)
Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta có
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1





0,25


0,25






0,25




0,25



Ta có
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 2 bộ số :
Ta được
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số không âm x2 và
ta có

Suy ra:
Vây maxkhi x =
minkhi x =





0,25


0,25

0,25


0,25


Câu 3
2 điểm
ĐK:
Đặt
Ta có Phương trình là:



Do 2 + ab 0 nên a – b =
Bình phương hai vế ta được

x = 3 thoả mãn điều kiện bài toán. Phương trình