Đề thi hsg tam dương năm 2009-2010

UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
KÌ THI KHẢO SÁT HSG LỚP 9 VÒNG 1
Năm học: 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề


Câu 1.(2,0 điểm)
a) Cho hàm số y=ax+b. Biết f(1)
f(2); f(5)
f(6) và f(999)=1000.
Tính f(2010).
b) Rút gọn biểu thức:
.
với mọi

Câu 2.(2,0 điểm)
Chứng minh rằng
không chia hết cho 25 với mọi số nguyên
.
Tìm các số nguyên dương
khác nhau sao cho:
.
Câu 3.(2,0 điểm)
a) Giải phương trình
.
b) Giải phương trình nghiệm nguyên

Câu 4.(1,5 điểm) Cho các số thực dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng
.
Câu 5.(2,5 điểm) Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn (O) ( M khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt OC, cắt tiếp tuyến tại A và cắt tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại D, E và H. Gọi F là giao điểm của AE và BD.
a) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABHE là nhỏ nhất.
b) Chứng minh EA. EF=
.
====HẾT====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:.....................
H ƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN 9
( Đáp án có 3 trang)
Câu
Nội dung chính
Điểm

1
a) Vì f(1)
f(2) nên a
0 (1)
f(5)
f(6) nên a
0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a=0
Do đó f(2010)=f(999)=1000

0,5

0,5


b)
=





(vì
)



0,25

0,5

0,25




2
a)
=

Vì
chia hết cho 5 nên
hoặc cùng chia hết cho 5 hoặc cùng không chia hết cho 5
*Nếu
cùng chia hết cho 5 thì
chia hết cho 25 mà 5 không chia hết cho 25 suy ra
không chia hết cho 25.
*Nếu
cùng không chia hết cho 5 thì
không chia hết cho 5 ( do 5 là số nguyên tố) suy ra
không chia hết cho 5, do đó
không chia hết cho 25.
Vậy
không chia hết cho 25 với mọi số nguyên
.

0,25


0,25

0,25


0,25


b) Giả sử
. Chia cả hai vế của PT cho
ta được:

Vì
mà
là số nguyên dương nên
. Đặt
(k
)
Theo bài ra ta có
(1)
Ta thấy
(vì nếu
thì
). Do đó
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
nên
(3)
Dễ thấy
thì bất đẳng thức (3) không xảy ra. Do đó

Thay
vào (1) ta được

.
Thử lại
thỏa mãn đề bài. Vì vai trò của x, y như nhau vậy (
)
.


0,25

0,25

0,25


0,25



3
a) ĐKXĐ:






Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
.













0,5


0,5


b)

Đặt
Do đó
.
Vậy nghiệm của phương trình là


0,5


0,5








4
Vì
, nên áp dụng BĐT Cauchy ta có:





(1)
Chứng minh tương tự ta có:
(2)

(3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được


Hay
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi


0,25

0,5

0,25





0,5






5






a) Ta có AE