ĐỀ THI HSG T9 - ĐỀ SỐ 6

TRƯỜNG THCS NGUYỄN BIỂU .
ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9-
NĂM HOC : 2016-2017 .
Đề số 6:

Câu 1 ( 2 điểm) Cho biểu thức A =

a. Rút gọn biểu thức A
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Câu 2.( 3 điểm) Rút gọn các biểu thức sau :
A = +
B =
C =

Câu 3 ( 5điểm) Giải phương trình sau:
a.

b.
c.Tìm m để phương trình
có nghiệm dương.
d.

e.

Câu 4. (4điểm)
a.Tìm nghiệm nguyên x , y biết: x+xy+y=9
b. Tìm số b nguyên tố sao cho b+6, b+14, b+12 và b+8 đều là số nguyên tố.
c.Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số.
d. Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương.
Câu 5 (1điểm) Chứng minh bất đẳng thức :
với x, y, z > 0
Câu 6. (4 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD,
= 900) đường cao BH. Điểm M thuộc đoạn HC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BM, đường thẳng này cắt BH và BM theo thứ tự ở E và F.
a. Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn và EB.EH = ED.EF.
b. Cho AB= 10 cm, BM= 13 cm, DM= 15 cm.Tính độ dài của các đoạn thẳng AD, DF và BF (chính xác đến 2 chữ số thập phân).
c. Khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên đường nào?
Câu 7. (1 điểm) Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001.
Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG MÔN TOÁN 9
NĂM HỌC 2011-2012

Câu 1
a) ĐKXĐ : x
0 ;

A =

A =

A =

A =
=
=

1đ


b) A =

do
và
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có



Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4


1đ

Câu 2
Ta có A2 = 8+2
A2 = 8+2
A2 = 8+2
A2 = 8+22 = 6 + 21)2
Do A > 0 nên A = 1.
1đ


P = =

=
Vậy P =
1đ


Xét A = a > 0
ta có
=
Vì a > 0, A> 0 nên A=
áp dụng ta có
C =
=
1đ

Câu 3
a.Pt


.

1đ


b.Đặt X = thì
Ta có phương trình: X -
= 3
( X2 - 2X - 3 = 0
( X = -1 hoặc X = 3
Với X = -1 ta có = -1 : vô nghiệm
Với X = 3 ta có = 3 có hai nghiệm
x = 6; x = -3
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 6; x = -3
1đ


c. Tìm m để phương trình
có nghiệm dương.
Điều kiện:
Ta cú
Nếu m = 1 phương trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
Nếu
phương trình trở thành

Phương trình có nghiệm dương

Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi
. .

1đ


d.Viết lại phương trình dưới dạng :
.
Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.

1đ


e. Điều kiện x ≥ 1. Phương trình biến đổi thành :


* Nếu x > 2 thì :
, không thuộc khoảng đang xét.
* Nếu