DE THI HSG QUAN TAN BINH

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẬN TÂN BÌNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 28/10/2013
Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4,0 điểm).Cho biểu thức :


a) Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P
.
b) Tìm x thoả mãn :

Bài 2 (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
.
b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c
0
Tính P = (2008+
)(2008 +
) ( 2008 +
)
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Cho A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 ( với n
N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương
b) Tìm x, y thoả mãn:
.
Bài 4 (6 điểm) Cho đtròn tâm O bán kính R và một điểm P cố định ở ngoài đtròn. Vẽ tiếp tuyến PA và cát tuyến PBC bất kì (A, B, C trên (O; R)). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua BC.
a) Gọi I là trung điểm của AP, K đối xứng với O qua I.
Chứng minh rằng AK = PO’.
b) Chứng minh rằng O’O = AH là hình bình hành.
c) Khi cát tuyến PBC quay quanh P. Chứng minh rằng H di chuyển trên một đường cố định.
Bài 5: (2 điểm) Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2
Tìm GTNN của P =

Hết
Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:...................
Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................

Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẬN TÂN BÌNH

HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN : TOÁN


 Hướng dẫn chấm này có 03 trang
Yêu cầu chung:
Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.
Yêu cầu cụ thể:
Câu
Nội dung
Điểm

1a
(2 điểm)
a) Điều kiện x>0 Ta có :

P=

P-1=

Vậy


0,5


0,5

0,75

0,25

1b
(2 điểm)
b)

4

3x + 6
-1 = 0




(thoã mãn điều kiện x>0) .

1,0


0,5


0,5

2a
(2 điểm)

(1), điều kiện
Đặt
Suy ra Thay vào (1) ta được do
nên a+b+1>0)
Với a = b ta có
thỏa mãn điều kiện
Vậy x=1 là nghiệm của phương trình đã cho.
0,25

0,5
0,75

0,5

2b
(2 điểm)
Ta có: a3 + b3 + c3 = 3abc

( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 0

a2 + b2 + c2 - ab - bc -ac = 0 ( vì a + b + c
0)

( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = 0

a = b = c

P = (2008+ 2008 + ( 2008 +
P = ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) = 20093


0,75

0,75


0,5

3a
(2 điểm)
b/
với
thì
và
là hai số tự nhiên liên tiếp,
mà
là số chính phương suy ra
không phải chính phương

đpcm
0,75


0,75

0,5

3b


(2 điểm)
b)








1,0

0,75
0,25

4a
(2 điểm)


a) Chứng minh được tứ giác AOPK là hình bình hành(dh 1)