De thi HSG môn Toán9 Vinh Tuong

phòng giáo dục - đào tạo
vĩnh tường
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2010-2011
Môn: toán
Thời gian làm bài 150 phút


Câu1: a) Cho ba số a, b, c thoả mãn và Chứng minh rằng:

b) Rút gọn:
Câu 2: Giải các phương trình:
a)
b)
Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Cho đẳng thức: đúng với mọi x, y và cho a, b, c khác 0. Chứng minh rằng:
Câu 4: a) Chứng minh rằng nếu b là số nguyên tố lớn hơn 3 thì là hợp số với mọi số tự nhiên n.
b) Cho các số thực x, y, z thoả mãn Chứng minh rằng:

Câu 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF của hai đường tròn sao cho A và E cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng OO’
Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh rằng
Chứng minh rằng AE vuông góc với BF.
Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh rằng ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.
Câu 6: a) Hãy tìm tất cả các số nguyên dương x, y sao cho và là các số chính phương.
b) ở vương quốc ”Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ trong đó có 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sĩ tóc vàng và 17 hiệp sĩ tóc xanh. Khi hai hiệp sĩ có màu tóc khác nhau gặp nhau thì tóc của họ lập tức chuyển sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì tóc của cả hai đổi sang màu xanh). Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy thì ở vương quốc ”Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ có cùng một màu tóc được không ? tại sao ?

Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh.................................................................................số báo danh...........................
phòng giáo dục - đào tạo
vĩnh tường
hướng dẫn chấm thi chọn hSG lớp 9
năm học 2010-2011
Môn: toán

--------------------------------------------
ý: Nếu thí sinh làm đúng theo cách khác đáp án vẫn cho điểm tối đa.

Câu
Nội dung trình bày
Điểm

1
(2đ)
a) (1đ)
Ta có:

Chứng minh tương tự ta có:
Vậy





0,5đ



0,5đ


b) (1đ)
Ta có:






0,5đ



0,5đ

2
(1,5đ)
a) (0,5đ)

Vậy phương trình có tập nghiệm là:


0,25đ


0,25đ


b) (1đ)
ĐKXĐ:
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Mặt khác:

Từ (1),(2) suy ra:

Dấu bằng ở (3) xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu bằng ở (1) và (2) tức là khi:
thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình có tập nghiệm là:






0,5đ








0,5đ

3
(1đ)
a) (0,5đ)

Dấu bằng xảy ra khi:

Vậy Min E =