Đề thi HSG Môn Toán - Có Đáp án năm học 09-10huyệnTĩnhGia Thanh Hoá

Phßng GD - §T huyÖn ®Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2009-2010
TÜnh Gia M«n : To¸n häc
( Thêi gian lµm bµi 150 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò)


C©u I ( 1,5 ®iÓm) :
Cho biÓu thøc A=

T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña A vµ rót gän A
T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó A >0
C©u II (1.0 ®iÓm) T×m x sao cho ba ®iÓm A(x;5) , B(-1;6) , C(1;2) th¼ng hµng

C©u III ( 2,5 ®iÓm )
Chøng minh :

T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt : Tæng b×nh ph­¬ng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã b»ng 10 vµ nÕu ta ®æi chç hai ch÷ sè cña sè cÇn t×m ®­îc mét sè mµ tÝch cña sè ®ã víi sè cÇn t×m b»ng 403 .
C©u IV ( 1.5 ®iÓm ) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 3xy - x2 - y2 biÕt x vµ y lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 5x + 2y = 10
C©u V ( 2,0 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B . Qua C vÏ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi AC . Gäi M , N lµ h×nh chiÕu ®iÓm B trªn ®­êng th¼ng d vµ trªn AC. Cho biÕt
BAC =
(
) vµ AC = 2a
TÝnh AB ; BC ; BH theo a vµ

TÝnh BH theo a vµ 2

C©u VI ( 1,5 ®iÓm ) . Cho h×nh vu«ng ABCD , c¸c ®iÓm M , N ,P , Q lÇn l­ît n»m trªn c¸c c¹nh AB , BC , CD , CA .
X¸c ®Þnh vÞ trÝ M ; N ; P ; Q ®Ó SMNPQ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt












H­íng dÉn chÊm ®Ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2009 – 2010
M«n To¸n häc

C©u
ý
Néi dung cÇn ®¹t
§iÓm

C©u 1
(1,5 ®iÓm)
a
1,0®
* §iÒu kiÖn a>0 , a
vµ a

* Q =
:

=

=

0,25®

0,25®

0,25®


0,25®


b
1®
Víi a>0 ta cã
>0 ®Ó Q=
>0 khi vµ chØ khi
>0

>0 khi
>2
a >4
VËy Q>0 khi a > 4

0,25

0,25

C©u 2
(®iÓm)
1®
§Ó 3 ®iÓm ®· cho th¼ng hµng tøc 3 ®iÓm ®ã n¨m trªn 1 ®­êng th¼ng . Gi¶ sö ®­êng th¼ng ®ã cã d¹ng y = ax + b
Ta cã

Suy ra a = -2 ; b = 4 vËy ®­êng th¼ng ®ã cã d¹ng y = -2x+4
5= -2x+4 suy ra x = -


0,25

0,25
0,25

0,25

C©u 3
(2,5®)
a


1,®








BÊt ®¼ng thøc nµy ®óng
VËy

0,25


0,25

0,25



0,25


b
1,5
Gi¶ sö sè cÇn t×m lµ
víi a , b
N , a >0
ta cã : a2 +b2 = 10 (I)
vµ
.
= 403 (II)
Tõ (I) vµ (II) ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh


ta cã (10a+b)(10b+a) = 403
10a2 + 100a.b + 10b2 + a.b = 403
101a.b = 303
a.b = 3
suy ra a = 1; b = 3 hoÆc a= 3 ; b =1
VËy sè cÇn t×m lµ 13 hoÆc 31
0,25

0,25


0,25

0,25

0,25

0,25

C©u 4
1,5 ®iÓm

ta cã y =




VËy Max P =
khi chØ khi

0,25


0,25

0,25


0,25



0,25


0,25

C©u 5















a
0,75

d
A K


D

G I

E




B M H C

- kÎ trung tuyÕn AM cã AM = a
- chøng tá Gãc AMH = 2

- MH = a cosin 2

- HC = a- a cosin 2
= a( 1- cosin2
) = AK
















0,25
0,25

0,25


b

1,25
- Tõ A kÓ AG vu«ng gãc víi DE
- AE.AD = AG.DE
- Suy ra ®­îc AI2 = AG.DE
- Suy ra ®­îc AI2 =AG . 2AI suy ra AI = 2 AG
- Sin
AIG =
=
vËy
AIG = 30 0 hay
AID = 300
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

C©u VI









1,5 ®


A I M B

Q E F




H K N





D P C
J
- Tõ c¸c ®iÓm M, N , P , Q ta kÎ c¸c ®­êng th¼ng // víi c¸c c¹nh cña h×nh vu«ng nã sÏ // hoÆc trïng nhau . NÕu nã song song tõng ®«i c¸c ®­êng ®ã c¾t nhau t¹i E , F , K , H t¹o thµnh mét h×nh ch÷ nhËt
- Ta cã S MNPQ = SHNP + SQEP +SQMF + SMKN + SEFHK
=
SIBCJ + SEFHK

SIBCJ
§Ó S MNPQ bÐ nhÊt khi SIBCJ bÐ nhÊt vµ QF
HN vµ MK
PE
§Ó ®iÒu ®ã xÈy ra khi 4 ®iÓm M, N,P , Q n»m trªn 1 ®­êng th¼ng

















0,5

0,25


0,25

0,25

 Ghi chó : Häc sinh lµm theo c¸c c¸ch kh¸c nhau nÕu ®óng vÒ c¬ së khoa häc bé m«n cho ®iÓm tèi ®a .